Билет 6.Линейная зависимость и независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве

Линейной зависимостью векторов а₁,…,а_n называется вектор α₁а₁+…+α_na_n где α₁α_n любые действительные числа

Если α1=α2=….=α_n=0 то линейная комбинация – тривиальная

Система векторов а₁,…,а_n называется линейно зависимой если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная ненулевому вектору, в противно случаи система векторов - линейно независимая

Если b= α₁а₁+…+α_na_n, то говорят что b линейно выражается через а₁,…,а_n

(n≥2) Система векторов а₁,…,а_n называется линейно зависимой если хотя бы один из них линейно выражается через остальные, в противно случаи а₁,…,а_n линейно независима.

а₁,…,а_n – л.з.(n≥2) α1….α_n не все равные 0 такие, что α₁а₁+…+α_na_n =0

Пусть α₁≠0 α₁а₁= α₂а₂-…-α_na_n/: α₁ а₁= α₂а₂/ α₁ -…-α_n a_n/ α₁ => а₁= α₂а₂+…+α_n a_n а₁- α₂а₂-…- α_n a_n=0

а₁,…,а_n л.з. 1) α1 ….α_n не все =0 α₁а₁+…+α_na_n =0 2) n≥2 хотя бы один выражается через остальные

а₁,…,а_n л.н. 1) α₁а₁+…+α_na_n =0 α1=α2=….=α_n=0 2) n≥2 ни один не выражается

Базис на плоскости:

Базисом на плоскости или в пространстве называется система л.з. векторов максимальная по включению взятых в определённом порядке

b₁,…, b_n - базис b₁,…, b_n, a – л.з. => β₁b₁+…+ β_nb_n+ αa=0 α≠0 a=- b₁-…- b_n =α =α_n a= α1b₁- ….-α_nb_n (1)

Выражение (1) называется разложением вектора а по базису b₁,…, b_n числа α₁,…, α_n называются координатами а в базисе b₁,…, b_n

Теорема2 Разложение по базису единственно а=α₁b₁+ …+α_nb_b a’= α₁’b₁’+ …+α_n’ b_b’ => a-a’=0= (α₁- α₁’)b₁+…+(α_n-α_n’) b_n (α₁- α₁’)=0

(α_n-α_n’)=0 => α₁= α₁’ α_n=α_n’

Теорема3:Любые 2 некомпланарных вектора на плоскости образуют базис с=а₁+b₁ а₁=αa b₁ =βb c= αa+ βb 1)a,b – л.н. 2)а,b+c=> л.з.

Теорема: 3 некомпланарных вектора в пространстве образуют базис d=OK+OM OM=a₁+b₁= αa+ βb=>

d= αa+ βb OK=γc => a,b,c,d – л.з.

Поиск по сайту: