|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. незал. множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторівОзн.1. Впор. набір n дійсн. чис. наз. n-вимірн. в-ром. запис. =(а1, а2, …, аn). Озн. 2. Два в-ри =(а1, а2, …, аn) та =(b1, b2, …, bn) наз. рівними, якщо рівні всі їх відповідні компоненти. Озн. 3. Сумою в-ів =(а1,…, аn) та =(b1,…, bn) наз. в-р =(а1+b1,…, аn+bn). Добутком дійсн. числа l на n-вим. в-р =(а1,…, аn) є вектор l=l (lа1,…, lаn). Властивості: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . =(0,0, …,0) – нульов. ел-т. Озн. 5. Мн-на всіх n-вим. в-ів над полем дійс. чис. R, в якій введ. оп-ії дод. векторів та множення векторів на дійс. числа і вик. вимоги 1-7 наз. n-вим. арифм. вект. прост-м. Озн. 6. Нехай , ,…, - n-вимірні вектори і l1, l2,…,lk – дійсні числа. Вектор =l1 +l2 +…+lk наз. лін. комбінацією векторів , ,…, . Озн. 7. Мн-на векторів , ,…, наз. лін. залежною, якщо век. рівність l1 +l2 +…+lk = (1) викон. тоді, коли хоч один з l1, l2,…,lk ≠ 0 Озн. 8. Мн-на векторрів , ,…, наз. лін. незалежною, якщо векторна рівність виконується лише тоді, коли всі коефіцієнти l1, l2,…,lk дорівнюють нулеві. Т. 1. Мн-на в-рів , ,…, є лін. зал. т. і т. т., коли хоч 1 в-р цієї мн-ни є лін. комб. решти в-рів. Т. 2 (Штейніца). Нехай дано дві множини векторів , ,…, (2) , ,…, , (3) Якщо вектор мн-ни (3) є лін. комбін. векторів мн-ни (2), то мн-на векторів (2) є лін. зал. Т. 3. Кожна множина векторів, яка містить є лінійно залежною. Т. 4. Кожна мн-на одиничних векторів , ,…, є лінійно незалежною. Т. 5. Діагональна множина векторів є лінійно незалежною. Розглянемо множину векторів М={ , ,…, } Озн.9. Макс. число лін. незал. в-рів множини М наз. рангом цієї множини. Озн. 10. Якщо ранг мн-ни в-рів М =. r, то б.-який набір r лін. незал. в-ів з М наз. базисом М. Т. 6. Набір лінійно незал. в-ів , ,…, мн-ни М буде базисом М т. і т. т., коли кожний вектор мн-ни М буде лін. комбінацією векторів , ,…, . Необх. Нехай лінійно незалежні вектори , ,…, . утв-ть базис мн-ни М. Отже, кожна мн-на r+1 в-ра , ,…, .(і= ) буде лінійно незалежною: (4) l1 +l2 +…+lr +b = , причому b¹0. Якби b=0, то з (4) => тобто в-ри , ,…, лін. заллежні. Дост. Нехай кожний вектор з множини М є лінійною комбінацією лінійно незалежних векторів =l1 +l2 +…+lr . Тоді кожна мн-на з (r+1) в-рів буде лін. незалежною (згідно т. 2). Отже, мн-на М не може містити більше, ніж r лін. незал. в-ів, тобто її ранг = r і в-ри , ,…, . утв-ють базис. Озн. 11. Перетв. мн-ни в-рів, які не змін. її ранг, наз. еквівалентними перетв-ми. Основними теоремами про еквівалентні перетворення множини векторів є Т.7. Якщо до мн-ни в-ів приєднати або вилучити в-р, який є їх лін. комбінацією, то від цього ранг новоутвореної множини векторів не змінюється. Т. 8. Еквівалентними перетвореннями множини векторів будуть: 1) множення будь-якого вектора на відмінне від нуля число; 2) дод. до б.-якого в-ра ін. в-ра, помноженого на відмінне від нуля число.
10. Критерії сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема про існування ненульового розв’язку лінійної однорідної системи рівнянь, яка містить n рівнянь і n+1невідому. Запишемо лінійну неоднорідну систему рівнянь у векторній формі (1) Розглянемо дві множини векторів: М1={ , ,…, } (2) М2={ , ,…, , } (3) Т1. Лінійна неоднорідна система рівнянь (1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг множини векторів М1 дорівнює рангу множини векторів М2. Необхідність. Припустимо, що система рівнянь (1) сумісна. Нехай вектор =(a1, a2,…,an) є її розв’язком, тобто . Ми знаємо, якщо до множини векторів приєднати вектор, який є їх лінійною комбінацією, то від цього ранг новоутвореної множини векторів не зміниться, тобто . Достатність. Нехай . Припустимо, що вектори , ,…, утворюють базис множини М1. Так як множина М2 також містить вектори , ,…, то вони будуть базисом і в множині М2. Значить множина векторів , ,…, , є лінійно залежною: (4) , причому b¹0. Якщо припустити, що b=0, то з (4) отримаємо, що вектори , ,…, є лінійно незалежні. З (4) отримаємо (5) Порівнявши (4) і (5) переконуємося, що вектор є розв’язком системи (1). Зауваження. Якщо розглянути систему рівнянь у виді (6) і позначити через А та А1 основну та розширену матриці системи, то теорему 1 можна сформулювати так. Теорема 1¢. Лінійна неоднорідна система рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці А дорівнює рангу розширеної матриці А1. Саме в такому формулюванні ця теорема відома як теорема Кронеккера Канеллі. Теорема 2. Кожна система n однорідних лінійних рівнянь, яка містить n+1невідому має і причому ненульові розв’язки. Доведення. Запишемо лінійну однорідну систему рівнянь у векторній формі (7) Розглянемо дві множини векторів , ,…, , (8) , , …, (9) Причому , , …, - одиничні n-вимірні вектори. Так як кожний вектор множини (8) є лінійною комбінацією векторів множини (9), то згідно теореми Штейніца множина (8) є лінійно залежною. Значить, , тобто =(a1, a2,…,an, aт+1) є ненульовий вектор системи рівнянь (7).
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.) |