Приклади. 1. Підгр-ми адитивної групи цілих чис

1. Підгр-ми адитивної групи цілих чис. Z будуть мн-ни Z_p ціл. чисел, які кратні натур-им числам p.

2. Підгр-ми мультиплікативної гр. комплексних чисел {1, -1, і, -i} будуть підмнож. {1}, {1,-1}, {1,-1,і,-і}.

3. Множ. всіх парних підстановок n-го степеня є підгр. симетричної гр. n-го степеня.

Для дов. того, що підм-ни в прикл. є підгр-ми потрібно дов.: 1) чи будуть бінарні операції груп бін. операціями і підмножинах; 2) чи містять підм-ни разом з будь-яким елементом а і його оберн. ел. а^-1.

Т. Для того, щоб підмножина Н групи G була підгрупою, необх. і дост., щоб викон. умова ( а,b) (а*b^-1ÎН) (1)

Дов. Необх. Так як Н є підгр., то разом з б.-якими своїми ел-ми а, b вона містить і ел-т b^-1, а значить і а* b^-1ÎН.

Дост. Так як Н є під множ. G, то асоціативність бін. операції очевидна. Покажемо, що нейтр. ел-т гр. G належить Н. Нехай а – б.-який ел-т Н. Тоді згідно умови (1) е=а*а^-1 ÎН.

Якщо аÎН, то використ. умову (1) до ел-ів е і а, маємо а^-1=е*а^-1ÎН. Всі вимоги групи справджуються.

Потрібно ще довести, що бінарна операція групи G буде бінарною і в Н. Нехай а, bÎН. Тоді і b^-1ÎН і згідно умови (1) а*(b^-1)ÎН, або а*bÎН. Т дов.

Озн. 2. Групи G₁ і G₂ наз. ізоморфними, якщо між їхніми ел. можна встановити взаємно-однозначну відповідність таку, що якщо

х₁, у₁ÎG₁ та х₂, у₂ÎG₂ і х₁Û х₂, у₁Û у₂, х₁*у₁Û х₂*у₂

Приклади. 1. Адитивна гр. G₁ цілих чисел ізоморфна адитивній гр. парних чисел. Якщо кожному цілому числу n поставити у відповідність парне число 2n, то дістанемо ізоморфне відображу. групи G₁ на G₂.

2. Мультиплікативна група G₁ додатніх дійсних чисел ізоморфна адитивній групі G₂ всіх дійсних чисел.

Якщо поставити у відповідність кожному додатному дійсному числу а дійсне число lg а, то отримаємо взаємно-однозначне відображ. G₁ на G₂, яке буде ізоморфне, так як lg а·b=lga+lgb.

Взаємно-однозначна відповідність називається при цьому ізоморфізмом. Якщо j(а*b)=j(а)*j(b).

Групи G₁ і G₂ називається гоморфними, якщо між їхніми ел. можна встанов. відповідність (не вимагається взаємна однозначність) таку, що якщо х₁, у₁ÎG₁ та х₂, у₂ÎG₂ і х₁Û х₂, у₁Û у₂, то х₁*у₁Û х₂*у₂.

Відповідність при цьому називається гомоморфізмом.

Поиск по сайту: