Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма

Нехай на площині вибрана прямокутна декартова система координат.

Озн. 1. Впорядков. пара чисел а, b наз. комплексним числом і позначається a=<а,b>.

Озн. 2. Два компл. числа a=<а,b>, b=<c,d> наз. рівними, якщо а=сÙb=d і записуємо a=b.

Озн. 3. “ Сумою” a+b 2-ох комп. чис. a=<а,b>, b=<c,d> наз. ком.. число g=<k,m>, для якого k=a+c Ù m=b+d.

Озна.4. “Добутком” a·b двох компл. чисел a та b наз. таке комп. число d=<r,n>, для якого r=ac-bd Ù n=ad+bc

Ці операції є бінарні. Доведемо, що мн-на всіх компл. чисел, відносно операцій “+” та ”·” утворює поле. Перевіримо виконання втмог (1-7) поля.

Довед. вл. 2. (" a, b, g)((a·b)·g=a·(b·g)). (a·b)·g=(<a,b> <c,d>) <k,m>=<ac-bd, ad+bc> <k,m>=<(ac-bd)k-(ad+bc)m,(ac-bd)m+(ad+bc)k>=<ack-bdk-adm-bcm, acm-bdm+adk+bck> права част. a·(b·g)=<а,b> (<c,d> <k,m>)=<a,b>·<ck-dm, cm+dk>=<a(ck-dm)-b(cm-dk), a(cm+dk)+b(ck-dm)>=<ack-adm-bcm-bdk, acm+adk+bck-bdm> Отже, (a·b)·g=a·(b·g)

Довед.3. Покажемо, що для ∀ a, b р-ння a+c=b має розв. Справді <a,b>+<x,y>=<c,d>. => х=с-а, y=d-b. Отже, c=<c-a, d-b> - розв’язок р-ння a+c=b.

Дов.7. Очевидно, що q=<0,0>. Покажемо, що р-ння a·c=b, a¹q має розв. Справді <a,b><x,y>=<c,d>. => =>

Поле ком. чис. позн. С.

Різницею a-b двох комплексних чисел буде <a-c,b-d>,

Часткою буде . Якщо a=b, то одиничн. ел-ом буде <1, 0>. Якщо b=<1, 0>, то

.

Побудоване поле комплексних чисел є розшир. поле дійсн. чис. Точки, які належать осі 0х, виду <а,0> взаємно однозначно відповідають множині дійсних чисел. Так як <а,0>+<с,0>=<а+с,0> <а,0>·<с,0>=<а·с,0>,

то комплексні числа виду <а,0> додаються і перемножуються як дійсні числа.

Точка <0,1> лежить на осі ординат, її квадрат =(-1).Цю точку прийнято позначати буквою і, і²=-1. Комплексне число <а,b> можна записати ще так

<а,b>=<а,0>+<0,b>=<а,0>+<b,0><0,1>=а+b·і

Озн. 5. Представлення компл. числа <а,b> у виді а+bі називається алгебраїчною формою.

Компл. число і наз. уявною одиницею, числа виду b·і – уявн. числами. В записі a= а+bі числа а наз. дійсною частиною числа a, а bі – уявною. Пл-ну, точками якої є комплексні числа, наз. комплексною. Вісь абсцис наз. дійсною віссю, а вісь у – уявною.

Дії над компл. числами в алгебраїчній формі здійснюються так:

(а+bі)+(c+di)=(a+c)+(b+d)і, (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

Множ. компл. чис. здійсн. за правилами множ. двочленів.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Полож. т. на площ. повністю визнач. заданням її полярних корд.: віддалі r від поч.. коорд. до точки a і кута j між додатн. напр.. осі абсцис і напрямом від початку корд. на цю точку.

Число r – завжди додат, і =0 лише для т. 0; його наз. модулем компл числа і позн. ½a½.

Кут j наз. аргументом компл. числа і позн. arg a. Вваж., що 0£ arg a<2p або -p£ arg a<p.

Між декартовими і полярними координатами точки справедливі такі співвідношення

a=r cos j, b=r sin j (1), r= (2)

Тоді a+bi=r cosj+i r sinj=r(cosj+i sinj) (3), тригонометр. форма запису

З (1) => cosj₀=cosj, тобто arga=j₀. Отже, кожне комплексне число однозначно записується в виді (3), де r=½a½_i i j= arg a.

Дії над компл. чис. в тригон. формі: Нехай a=r(cos j+i sin j), b=r(cos q+i sin q). Перемнож. їх a·b=[ r(cos j+i sin j)][b=r(cos q+i sin q)]=rr(cos j cos q +i cos j sin q+i sin j cos q+i² sin j sin q)= rr(cos(j+q)+i sin(j+q)).

Щоб помн. два комп. ч-ла в триг. формі потрібно перемн. мод. і арг. дод.

Нехай b¹0, тоді

Щоб поділ. компл. числа в тригон. формі потрібно їх модулі поділити, а аргументи відняти.

8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.

Озн.1 Лінійною неоднорідною сист. рівнянь, яка містить m рівнянь і n невідомих називається:

Вваж. всі ці величини дійсн. числами. Якщо всі вільні чл. =0, то сист. р-нь наз. однорідною лінійною системою рівнянь.

Озн2. ā(a₁,a₂,…,a_n) наз. розв. лінійної неоднор. сист. р-нь (1), якщо при підстановці його компонент замість невідомих кожне з рівнянь перетвор. в істинну числову рівність.

Озн3. Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч би один розв’язок.

Озн4. Сист. рівнянь називається несумісною, якщо множина її розв. порожня. Розв’язати сист. рівнянь (1) означає або знайти всі її розв. або довести, що система (1) не має розв’язків. Сумісна сист. рівнянь має або один розв’язок або безліч розв.

(2) (ā_і, )= , i= це векторно-скалярний запис системи рівнянь.

(3) х₁ +х₂ +…+х_n = . Це векторний запис системи рівнянь.

(4) АХ=В це матрична форма запису системи рівнянь (1).

Озн4. Дві сист. лінійних рівнянь називаються еквівалентними (рівносильними), якщо кожний розв’язок однієї системи рівнянь є розв’язком другої системи рівнянь і навпаки.

Озн 5. Елементарними перетвореннями системи рівнянь називаються на ступні перетворення:

1. перестановка місцями будь-яких двох рівнянь системи;

2. множення будь-якого рівняння на відмінне від нуля число;

3. додавання до обидвох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, які помножені на відмінне від нуля число.

Елементарні перетворення переводять дану систему рівнянь в еквівалентну систему.

Поиск по сайту: