Метод Гауса

Нехай в 1-му р-ні коефіцієнт а₁₁¹0 (якщо це не так, то поміняємо місцями доданки лівої частини і проведемо аналогічні міркування). Перетворимо систему рівнянь (1), виключивши змінну х₁ з усіх рівнянь, крім 1-го. Для цього помножимо обидві частини 1-го р-ня на –а₂₁/a₁₁ і до 2-го р-ня додаємо перетворене 1-ше, 1-ше р-ня помножимо на –a₃₁/a₁₁ і до 3-го р-ня додамо перетворене 1-ше і т.д, помножимо 1-ше р-ня на –a_ml/a₁₁ і до m-го р-ня додамо перетворене перше рівняння. В результаті отримаємо (5)

Тут коефіцієнти а¢_ij та вільні члени b¢_i вирази коефіцієнтів та вільних членів, які отримані після виконаних перетворень. (5) очевидно буде еквівалентною системі (1). 1-ше р-ня системи залишаємо без змін. Розглянемо друге, третє і т. д. m-не рівняння. Якщо серед цих рівнянь є такі, що всі коефіцієнти лівої частини та відповідний вільний член = 0, тобто виду 0·х₂+0·х₃+…+0·х_n=0, то ми ці рівняння виключаємо з розгляду. Якщо серед рівнянь є такі, що всі коефіцієнти лівої частини 0, а відповідний вільний член правої частини відмінний від нуля, тобто 0·х₂+0·х₃+…+0·х_n=b, b¹0, то тим самим ми вже довели, що система рівнянь несумісна. Таким чином, вважаємо, що серед коефіцієнтів a¢_ij є відмінні від нуля. Нехай, наприклад a¢₂₂≠0. Аналогічно до описаних вище перетворень, домножаємо друге рівняння відповідно на -a¢₃₁/a¢₁₁, …, - a¢_m2/a¢₂₂ і перетворене друге рівняння додаємо до третього і т. д. m-го рівняння. Отримаємо:(6)

Система рівнянь (6) еквівалентна до системи рівнянь (5), а значить і до (1). Проводимо знову аналогічні міркування до проведених вище.

Якщо ми отримаємо систему рівнянь коефіцієнти лівої частини нулі, а вільний член є відмінний від нуля, то наша система рівнянь (1) є несумісною.В усіх інших випадках ми отримаємо систему рівнянь виду:

в якій а₁₁¹0, a¢₂₂¹0, …, ¹0, ¹0; k£m, k£n.

Система рівнянь (7) сумісна. Якщо k=n, то система (7) матиме вид

З останнього рівняння визначимо х_n. Підставивши його значення в передостаннє рівняння визначимо х_n-1. Продовжуючи цей процес ми отримаємо, що система рівнянь (8), а значить і система рівнянь (1) мають єдиний розв’язок.

Якщо k<n, то залишимо в кожному рівнянні системи (7) в лівій частині доданки першими k невідомими, а інші – перенесемо в праву частину. Зафіксуємо будь-яким способом невідомі x_k+1, …, x_n правої частини. Отримуємо конкретні значення для x₁, x₂,…,x_k. Так як фіксувати невідомі x_k+1, …, x_n можна безліччю способів, то в цьому випадку система рівнянь (7), а значить і (1) має безліч розв’язків.

Поиск по сайту: