|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторівОзначення. Векторний простір V наз. скінченновимірним, якщо він породжується скінченною множиною векторів. Базисом скінченновимірного векторного простору називається будь-яка скінченна лінійно незалежна система векторів, яка породжує весь простір. Також, можна сказати, що базисом скінченновимірного векторного простору є довільний базис будь-якої його скінченної системи твірних векторів. Неважко перевірити, що за базис простору W2 всіх геометричних векторів площини можна взяти будь-які два неколінеарні вектори. Будь-які три некомпланарні вектори утворюють базис простору W3. У векторному просторі С над полем R один з базисів утворюють числа 1, і. У n-вимірному арифметичному векторному просторі за базис можна взяти одиничні вектори , оскільки вони лінійно незалежні і породжують весь простір . Всі ці простори є скінченновимірними. Прикладами просторів, які не є скінченновимірними, служать дійсний простір R[x] всіх многочленів від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами, дійсний простір всіх неперервних на відрізку [а,b] функцій однієї дійсної змінної, нескінченновимірний арифметичний векторний простір над полем Р, оскільки вони, як неважко перевірити, не породжуються жодною скінченною множиною своїх елементів. Теорема 1. Будь-який скінченновимірний векторний простір має базис, причому будь-які два базиси простору складаються з одинакової кількості елементів. Наслідок 1. Якщо базис векторного простору V складається з n елементів, то будь-яка скінченна система векторів простору V, що містить більше, ніж n елементів, є лінійно залежною. Наслідок 2. Якщо базис векторного простору V складається з n елементів, то будь-яка система з n векторів, що породжує весь простів V, є базисом цього простору. Теорема 2. Будь-яку лінійно незалежну систему векторів скінченновимірного векторного простору V, що не є базисом, можна доповнити до базису простору V. Означення. Розмірністю ненульового скінченновимірного векторного простору називається кількість векторів довільного базису цього простору. Розмірність нульового векторного простору V={0} вважається рівною нулю. Розмірність простору V позначається символом dimV. Виходячи із побудованих раніше базисів у конкретних векторних просторах, отримаємо для їх розмірностей: dimW2=2, dim W3=3, dimVn=n, dimC=2, якщо розглядати поле С як векторний простір над полем R. З теореми 1 і наслідків з неї безпосередньо отримуються такі властивості розмірності векторного простору: Властивість 1.. Якщо dimV=n, то при будь-яка система, що складається з k векторів простору V, лінійно залежна.. Властивість 2. Якщо dimV=n і система векторів лінійно незалежна, то . Властивість 3. Якщо dimV=n і система векторів породжує простір V, то ця система є базисом простору V. Означення. Взаємно однозначне відображення f: векторного простору V на векторний простір W, що задані над одним і тим самим полем Р, називається ізоморфізмом простору V на простір W, якщо для f виконуються умови: (l) (f (a + b) = f (a) + f (b)); (2) Простір V називається ізоморфним простору W, якщо існує ізоморфізм V на W. Встановимо деякі властивості ізоморфізму векторних просторів. В ласт ивість 1. Якщо простір V ізоморфний простору W, то й, навпаки, простір W ізоморфний простору V, тобто відношення ізоморфізму векторних просторів є симетричним. Властивість 2. Якщо простір U ізоморфний простору V, а простір V ізоморфний простору W, то простір U ізоморфний простору W, тобто відношення ізоморфізму векторних просторів є транзитивним. Властивість 3. Якщо f: - ізоморфізм векторного простору V на простір W то f(0)=0. Властивість 4. Якщо f: - ізоморфізм векторного простору V на простір W і - лінійно незалежна система векторів простору V, то f (),..,f (am) - лінійно незалежна система векторів простору W. Властивість 5. Якщо f: - ізоморфізм векторного простору V на простір W і - базис векторного простору V, то f (),...,f () - базис простору W. Наслідок. Якщо скінченновимірні векторні простори V і W ізоморфні, то вони мають однакові розмірності. Теорема. Будь-який ненульовий векторний простір розмірності n над полем Р ізоморфний n-вимірному арифметичному векторному простору Vn над полем Р. Теорема. Два скінченновимірні векторні простори V і W ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові розмірності.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |