АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь

Читайте также:
  1. Cутність та умови застосування міжнародних розрахунків за допомогою акредитивів.
  2. I. Основні риси політичної системи України
  3. II. Решение логических задач табличным способом
  4. V. 2. Механічне описання молекулярної системи
  5. а) відношенню кількості елементарних подій, що сприяють події до кількості всіх
  6. Автоматизовані системи управління процесом розформування составів на сортувальних гірках
  7. Адаптивні типи людини. Антропоекологічні системи і здоров'я.
  8. Алгоритм знаходження функції, оберненої до даної.
  9. Алгоритм розв’язування квадратних нерівностей
  10. Анализ себестоимости выпуска продукции металлургического комбината способом вычитания
  11. Аналіз роботи системи
  12. Англо-американський (прецедентний) тип правової системи

Озн. 1. Квадратна матриця А-1 n-го пор. наз. оберненою до квадратної матриці А n-го порядку, якщо А·А-1-1·А=Е

Озн. 2. Елементарною матрицею n-го порядку наз. матриця, яка утв-ться з одиничної матриці n-го порядку за допом. елементарного (еквівалентного) перетворення.

До еквівалентних перетворень матриці відносяться:

1) заміна місцями двох будь-яких рядків;

2) множення рядка на будь-яке число відмінне від 0;

3) додавання до будь-якого рядка іншого рядка помноженого на відмінне від 0 число.

Теорема1. Заміну місцями двох рядків матриці можна замінити множенням матриці А зліва на відповідну елементарну матрицю, яка одержується з одиничної матриці заміною місцями аналогічних рядків.

Доведення:

Т. 2. Множення і-го рядка м-ці А на ненульове число С еквівал. множенню м-ці А зліва на елементар-ну м-цю, яка отримується з одиничної матриці множенням і-го рядка на дане число С.

Доведення: Помножимо третій рядок матриці А на ненульове число С і помножимо одиничну матрицю Е на ненульове число С. Доведемо, що

Т. 3. Додавання і-го рядка до j-го рядка, помноженого на ненульове число С еквівалентне множеню матриці А зліва на елементарну м-цю, яка отримується з одиничної матриці додаванням до і-го рядка j-го рядка, помноженого на ненульове число С.

Доведення: розглянемо матрицю А і додамо наприклад до другого рядка перший рядок помножений на ненульове число С.

Аналогічні теореми справджуються і з перетвореннями стовпців, лише множення на елементарні матриці проводиться справа.

Т.4. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядків (стовпців) квадратну м-цю А можна перевести в одиничну м-цю, то за допомогою цих самих елементарних перетворень одинична м-ця Е перейде в матрицю А-1, якщо буде оберненою до матриці А.

Доведення: Нехай за допом. ел-арних перетв. а1, а2, …, аk рядків м-ці квадр. м-ця А переводиться в одиничну м-цю Е. Згідно т-ем 1-3 перетв-ння а1 перев-ть м-цю А в ·А, перетв. а2 перев. м-цю ·А в ( ·А) і т. д. аk перев. м-цю ( ( ·А)) в матрицю ·( А)=Е. Звідси ()(А·А-1)=Е·А-1 або ( А)А-1-1, => У=А-1.

З останньої рівності випливає, що елементарні перетворення а1, а2, …, аk рядків матриці переводить одиничну матрицю Е в А-1.

Зауваження. На практиці обернену матрицю шукають так: записують прямокутну матрицю (А/Е) і за допомогою елем. пертвор. зводять її до (Е/А-1).

Т 5. Якщо визначник квадратної матриці А n-го порядку не дорівнює нулеві, то вона має обернену матрицю А-1, причому

А-1= , Аij – алгебраїчні доповн. до елемента аij матриці А.

Доведення: Позначимо шукану обернену матрицю через Х={xij}ni,j=1. Тоді АХ=Е або =

Перемножимо матриці лівої частини та прирівняємо відповідні елементи матриць лівої та правої частини. Отримаємо:

 

Одержана система n2 рівнянь з n2 невідомими розкладається на n підсистем, кожна з яких складається з n рівнянь і n невідомих, причому визначник основної матриці кожної з підсистем є det A¹0. Згідно теореми Крамера кожна з n систем має і притому єдиний розв’язок. Знайдемо вираз для хij.

Обчислимо, наприклад,

= = =

Аналогічно знаходимо решту хij. Безпосереднім множенням матриці А на знайдену переконуємося в тому, що знайдена м-ця обернена до м-ці А.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Нехай А= , Х= , В=

Тоді систему лінійних рівнянь можна записати у матричній формі А·Х=В

Якщо матриця А має обернену матрицю А-1, то помноживши обидві частини матричного рівняння зліва на А-1, отримаємо Х=А-1·В

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що Х=А-1·В є єдиним розв’язком лінійної системи рівнянь

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)