|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівняньОзн. 1. Квадратна матриця А-1 n-го пор. наз. оберненою до квадратної матриці А n-го порядку, якщо А·А-1=А-1·А=Е Озн. 2. Елементарною матрицею n-го порядку наз. матриця, яка утв-ться з одиничної матриці n-го порядку за допом. елементарного (еквівалентного) перетворення. До еквівалентних перетворень матриці відносяться: 1) заміна місцями двох будь-яких рядків; 2) множення рядка на будь-яке число відмінне від 0; 3) додавання до будь-якого рядка іншого рядка помноженого на відмінне від 0 число. Теорема1. Заміну місцями двох рядків матриці можна замінити множенням матриці А зліва на відповідну елементарну матрицю, яка одержується з одиничної матриці заміною місцями аналогічних рядків. Доведення:
Т. 2. Множення і-го рядка м-ці А на ненульове число С еквівал. множенню м-ці А зліва на елементар-ну м-цю, яка отримується з одиничної матриці множенням і-го рядка на дане число С. Доведення: Помножимо третій рядок матриці А на ненульове число С і помножимо одиничну матрицю Е на ненульове число С. Доведемо, що
Т. 3. Додавання і-го рядка до j-го рядка, помноженого на ненульове число С еквівалентне множеню матриці А зліва на елементарну м-цю, яка отримується з одиничної матриці додаванням до і-го рядка j-го рядка, помноженого на ненульове число С. Доведення: розглянемо матрицю А і додамо наприклад до другого рядка перший рядок помножений на ненульове число С.
Аналогічні теореми справджуються і з перетвореннями стовпців, лише множення на елементарні матриці проводиться справа. Т.4. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядків (стовпців) квадратну м-цю А можна перевести в одиничну м-цю, то за допомогою цих самих елементарних перетворень одинична м-ця Е перейде в матрицю А-1, якщо буде оберненою до матриці А. Доведення: Нехай за допом. ел-арних перетв. а1, а2, …, аk рядків м-ці квадр. м-ця А переводиться в одиничну м-цю Е. Згідно т-ем 1-3 перетв-ння а1 перев-ть м-цю А в ·А, перетв. а2 перев. м-цю ·А в ( ·А) і т. д. аk перев. м-цю ( … ( ·А)) в матрицю ·( … А)=Е. Звідси ( … )(А·А-1)=Е·А-1 або ( … А)А-1=А-1, => … У=А-1. З останньої рівності випливає, що елементарні перетворення а1, а2, …, аk рядків матриці переводить одиничну матрицю Е в А-1. Зауваження. На практиці обернену матрицю шукають так: записують прямокутну матрицю (А/Е) і за допомогою елем. пертвор. зводять її до (Е/А-1). Т 5. Якщо визначник квадратної матриці А n-го порядку не дорівнює нулеві, то вона має обернену матрицю А-1, причому А-1= , Аij – алгебраїчні доповн. до елемента аij матриці А. Доведення: Позначимо шукану обернену матрицю через Х={xij}ni,j=1. Тоді АХ=Е або = Перемножимо матриці лівої частини та прирівняємо відповідні елементи матриць лівої та правої частини. Отримаємо:
Одержана система n2 рівнянь з n2 невідомими розкладається на n підсистем, кожна з яких складається з n рівнянь і n невідомих, причому визначник основної матриці кожної з підсистем є det A¹0. Згідно теореми Крамера кожна з n систем має і притому єдиний розв’язок. Знайдемо вираз для хij. Обчислимо, наприклад, = = = Аналогічно знаходимо решту хij. Безпосереднім множенням матриці А на знайдену переконуємося в тому, що знайдена м-ця обернена до м-ці А. Розглянемо систему лінійних рівнянь: Нехай А= , Х= , В= Тоді систему лінійних рівнянь можна записати у матричній формі А·Х=В Якщо матриця А має обернену матрицю А-1, то помноживши обидві частини матричного рівняння зліва на А-1, отримаємо Х=А-1·В Безпосередньою перевіркою переконуємося, що Х=А-1·В є єдиним розв’язком лінійної системи рівнянь
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |