Групи. Приклади груп. Основні властивості груп

Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.

Озн. Непорожня множина N, в якій для деяких елементів а і b існує відношення порядку “b слідує безпосередньо з а” і яке задовільняє такі аксіоми:

1) існує елемент е (одиниця), який не слідує безпосередньо за жодним іншим елементом;

2) для кожного елемента а існує і при тому лише один елемент - a¢, який слідує безпосередньо за а;

3) будь-який елемент, крім е, безпосередньо слідує за одним і тільки одним елементом;

4) якщо множина N має такі властивості:

а) еÎN;

б) якщо аÎN, то й a¢ÎN,

то вона містить усі свої елементи, називається множиною натуральних чисел, а самі елементи множини N називаються натуральними числами. Очевидно, що множина чисел 1, 2, 3, …, які ми інтуїтивно засвоїмо в школі, задовольняють вимогам аксіоми Пеано.

Особлива роль належить четвертій аксіомі, бо вона є формально-логічною основою для доведення методом математичної індукції. На практиці аксіому 4 (її називають ще аксіомою індукції) використовують у формі принципу повної математичної індукції.

Т. 1. Якщо твердження Т, що містить натуральне число n, істине при n=1 і із істинності Т при n випливає його істинність при n+1, то воно істинне для всіх натуральних чисел. Дов.. Позначимо через N множину натуральних чисел, для яких твердження Т істинне. Тоді 1ÎN, бо для n=1 твердження Т доведено. Нехай nÎN, тобто твердження т істинне для n. Тоді n¢ÎN, бо за теоремою, якщо Т істинне для n, то воно буде істинне і для n¢. Згідно з аксіомою 4 множина N збігається з множиною всіх натуральних чисел, тобто Т істинне для всіх натуральних чисел.

В багатьох випадках використовують інші форми принципу повної математичної індукції.

Т. 2. Якщо про деяке твердження Т відомо, що воно істинне для деякого натурального числа n і з припущенням, що Т істинне для натурального числа m³n випливає, що воно істинне для m¢, тоді Т істинне для всіх натуральних чисел m³n.

Т. 3. Якщо про деяке твердження відомо, що воно істинне при n=1 і з припущення, що Т істинне для всіх натуральних менших n(n>1) випливає, що воно істинне для n, то Т істинне для всіх натуральних чисел.

Т.4. Якщо твердження Т істинне при к>1 і з того, що воно істинне для всіх к£m<n випливає, що воно істинне для n, то твердження Т істинне для будь-якого числа а³к.

Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.

Озн.1. Бінарної операцією на множині А називається відповідність, яка кожній впорядкованій парі елементів а,bÎА співставляє лише один елемент с цієї ж множини А.

Бінарну операцію будемо позначати с=а*b. Як правило в математиці бінарні операції називають додаванням та множенням.

Озн. 2. Множина G, в якій введена одна бінарна операція, відносно якої виконується три вимоги:

1) ( а, b, с)((а*b)*с=а*(b*с));

2) ( е)( а)(а*е=а) (елемент е називається правим нейтральним елементом);

3) ( а)( а^-1)(а*а^-1=е) (елемент а^-1 називається правим оберненим елементом). називається групою.

Приклади.

1. Множина неособливих матриць n-го порядку є є групою відносно операції множення матриць.

2. Множина парних чисел відносно операції додавання.

3. Множина цілих чисел відносно операції додавання.

4.Сукупність перетворень повороту площини навколо нерухомої точки відносно операції множення поворотів.

Доведення проводяться безпосередньо перевіркою вимог групи.

Якщо бінарну операцію називають додаванням, то елемент е називають нулем і позначають q, а елемент а^-1 називають протилежним і позначають – а, а саму групу адитивною.Якщо бінарну операцію називають множенням, то елемент е називають одиничним, а елемент а^-1 називають оберненим до а, а саму групу – мультиплікативною.

Кількість елементів скінченої групи називають порядком групи. Якщо бінарна операція є комутативною, то групу називають комутативною або абелевою.

З означення групи випливають такі основні властивості.

Вл. 1. Кожний правий обернений елемент є одночасно і лівим оберненим елементом.

Дов.. Нехай а^-1 є правим оберненим елементом, тобто а*а^-1=е. Виконаємо бінарну операцію зліва з елементом лівої та правої частини.

Одержимо а^-1*(а*а^-1)=а^-1*е або а^-1*(а*а^-1)=а^-1. Позначимо правий елемент до елемента а^-1 через b. Виконаємо бінарну операцію справа з елементом b в останній рівності. Одержимо (а^-1*(а*а^-1))*b= а^-1*b або (а^-1*а)*(а^-1*b)=е.

Звідси слідує а^-1*а=е.

Вл. 2. Правий нейтральний елемент групи є одночасно лівим нейтральним елементів.

Дов. Задано, що а*а^-1=е. Виконаємо бінарну операцію з елементом а справа. Одержимо (а*а^-1)*а=е*а. Згідно властивості 1 маємо а*(а^-1*а)=е*а або а*е=е*а.

Властивість 3. Нейтральний елемент в групі єдиний.

Доведення. Припустимо від супротивного, що в групі є два різні нейтральні елементи е₁ і е₂.

Тоді Що і треба було довести.

Аналогічно доводяться: Вл.4. ( а,b) ( x)(а*х=b) Вл. 5. ( а,b) ((а*b)^-1=b^-1*а^-1) Вл.6. Кожний елемент а має єдиний обернений елемент а^-1.

Поиск по сайту: