Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць

Розглянемо довільну матрицю розміру

Матрицю, у якої кількість рядків і стовпчиків різна , називають прямокутною.

Якщо матриця складається з одного рядка (стовпчика) вона називається матрицею-рядком (стовпцем):

- матриця-рядок, - матриця-стовпець.

Коли у матриці кількість рядків і стовпців збігається і дорівнює , то вона називається квадратною матрицею порядку:

– квадратна матриця.

Елементи квадратної матриці називаються діагональними і кажуть, що вони утворюють головну діагональ матриці. Інколи розглядають і допоміжну діагональ квадратної матриці на якій містяться елементи .

Квадратна матриця називається симетричною у випадку коли Зміст останньої умови полягає у тому, що елементи, розміщені симетрично відносно головної діагоналі, співпадають.

Квадратна матриця у якій всі елементи, окрім тих що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють називається діагональною:

Квадратна матриця у якої елементи на головній діагоналі дорівнюють а всі інші елементи є нулі, називається одиничною матрицею порядку:

Матриця кожний елемент якої дорівнює називається нуль-матрицею, або нульовою матрицею.

Для матриць одного розміру можна ввести поняття рівності і додавання.

Дві матриці одного розміру називаються рівними якщо в них співпадають однаково розміщенні елементи:

Сумою двох вище вказаних матриць називається третя матриця яка складається з елементів

Добутком матриці на число називається матриця, яка позначається і складається з елементів

Операції додавання і множення на число називаються лінійними операціями над матрицями.

Лінійні операції над матрицями мають наступні властивості:

1. (комутативність);

2. - нуль-матриця однакового з розміру;

3. (асоціативність);

4. (асоціативність множення на число відносно суми матриць);

5. (асоціативність відносно суми чисел);

6. (асоціативність відносно множення чисел).

Ще однією важливою операцією над матрицями є операція транспонування.

Транспонованою матрицею називається матриця

Операція транспонування, очевидно, полягає у тому, що стовпці матриці послідовно, починаючи з першого, записують у рядки.

Над матрицями можна ввести операцію множення. Але перемножувати можна тільки узгоджені матриці.

Дві матриці і називаються узгодженими, якщо число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої.

Розглянемо матриці:

Матриця матриця

Ці дві матриці є узгодженими. Зауважимо, що матриці і у загальному вигляді не є узгодженими. Число стовпців у матриці дорівнює а число рядків у матриці дорівнює Зрозуміло, що дві квадратні матриці одного порядку завжди узгоджені.

Добуток двох узгоджених матриць визначається за наступним правилом.

Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається третя матриця розміру , кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів рядка матриці на відповідні елементи стовпчика матриці

Умовно формулу можна записати ще в наступному вигляді:

Розглянемо приклад множення матриць

,

Операція добутку матриць має наступні властивості:

1. Якщо - нуль-матриця узгоджена з то

Для квадратних матриць:

2. Якщо - одинична матриця узгоджена з то

Для квадратних матриць:

3. Операція множення матриць не є комутативною. Якщо існують обидва добутки і то рівність не завжди є вірною.

4. Асоціативність відносно множення на число:

5. Асоціативність:

6. Дистрибутивність:

7. (для квадратних матриць однієї розмірності)

Поиск по сайту: