Скалярні та векторні величини. Поняття вектора. Лінійні операції з векторами у геометричній формі і їх властивості

Усі величини можуть бути поділені на скалярні та векторні. Скалярні величини повністю визначаються їх числовими даними. Наприклад, довжина, густина, маса, температура тощо.

Векторною називається величина, яка визначається не тільки числовим значенням, а ще й напрямком. Геометрично векторні величини зображуються за допомогою векторів, під якими розуміється направлений відрізок.

Вектором називається направлений відрізок з початковою точкою і кінцевою точкою (Рис.11.1).

Рис 11.1

Як можна бачити з визначення, напрямок вектора задається від початкової точки до кінцевої. Коли неважливо, у якій саме точці має початок і кінець вектор, він позначається однією буквою:

Довжину відрізка, на якому розміщується вектор, називають модулем або довжиною вектора і позначають

Будь-які два вектори і називаються рівними, якщо вони мають однакові довжини і однаковий напрямок (Рис.11.1). Тобто у цьому випадку Геометрично це означає, що рівні вектори збігаються при паралельному перенесенні.

Якщо початкова і кінцева точки вектора збігаються, то вектор має нульову довжину. Такий вектор називається нульовим, або нуль-вектором і позначається Вектор такий, що , називається одиничним вектором.

В залежності від того, як вектори розміщуються у просторі, відрізняються колінеарні і компланарні.

Вектори що знаходяться на одній або на паралельних прямих, називаються колінеарними.

Вектори що знаходяться у одній або паралельних площинах, називаються компланарними.

Над векторами у геометричній формі можна здійснювати такі операції як множення на число і додавання. Ці операції називаються лінійними операціями над векторами.

Добутком вектора на число (скаляр) називається вектор що визначається наступними умовами:

1.

2. вектори і колінеарні і спрямовані однаково при і спрямовані у протилежних напрямках коли,

Добутком будь-якого вектора на є нуль-вектор:

Вектор що має однакову з довжину і протилежний напрямок. називається протилежним до

Сумою двох векторів і є третій вектор , який будується згідно з правилом трикутника або правилом паралелограма (Рис. 11.2):

Рис 11.2

Правило трикутника очевидно поширюється на будь-яку кількість векторних доданків (Рис. 11.3).

Рис 11.3

За допомогою поняття протилежного вектора можна ввести і поняття різниці двох векторів

.

Лінійні операції над векторами мають наступні властивості:

1. (комутативність додавання);

2. (асоціативність додавання).

Для будь-якого :

3. ;

4. ;

5. ;

6. (асоціативність добутку на число);

7. (дистрибутивність відносно додавання векторів);

8. (дистрибутивність відносно додавання скалярів).

Поиск по сайту: