Поняття оберненої матриці. Матричний метод розв’язання лінійних алгебраїчних систем. Формули Крамера

Нехай є квадратна матриця

Оберненою для матриці називається матриця , для якої є вірними рівності

,

де - одинична матриця розміру

Теорема 1. (Про єдність оберненої матриці)

Якщо у матриці існує обернена матриця, то вона єдина.

Теореми про єдиність, як правило, доводяться методом від протилежного. Припустимо, що у матриці існує дві обернені і і З випливає

Цю рівність справа множимо на і перетворюємо отриманий добуток:

Таким чином, прийшли до того, що обернені матриці мають співпадати, що суперечить зробленому припущенню. А це означає, що зроблене припущення про існування двох різних обернених матриць невірне.

Введемо поняття невиродженої матриці. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник

Теорема 2. (Про обернену матрицю).

Кожна невироджена квадратна матриця має єдину обернену матрицю, яка дорівнює

Матриця яка складається з алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці називається взаємною до матриці

Єдиність оберненої матриці вже доведено. Залишається показати, що для матриці, яка визначена, виконуються рівності. Знаходимо, що

Знайдемо елементи матриці :

Таким чином, матриця є наступною діагональною матрицею:

Тоді

.

Рівність доводиться аналогічно і це пропонується зробити самостійно.

Таким чином, формула дійсно визначає обернену матрицю для невиродженої квадратної матриці

Обернена матриця дозволяє розв’язувати системи з квадратними матрицями у матричному вигляді. Такий метод розв’язання систем називається матричним.

Нехай є система лінійних рівнянь з квадратною матрицею визначеною у. Матричний запис цієї системи має вигляд:

Нехай тоді існує обернена матриця Помножимо на справа:

,

або, згідно,

,

і остаточно

.

– матричний розв’язок системи.

Якщо у виконати множення, а саму рівність записати поелементно, то отримаємо відомі формули які мають назву формул Крамера.

Для цього у підставимо:

Результатом добутку є стовпчик елементи, якого дорівнюють

Величина є розкладенням по елементам стовпчика визначника:

Легко бачити, що в кожний визначник з утворюється з визначника внаслідок заміни елементів стовпчика на елементи стовпчика

З знаходимо

,

звідки випливає

.

Останні формули і мають назву формул Крамера.

Поиск по сайту: