Скалярний добуток векторів і його основні властивості

Для введення операції скалярного множення векторів попередньо необхідно визначити кут між векторами. Нехай два вектора і мають початок у одній точці. Кутом між векторами і розуміється найменший кут, на який потрібно повернути перший вектор, щоб його напрямок співпадав з напрямком другого вектора (Рис.17.1).

Рис 17.1

Згідно з таким визначенням виконується нерівність: або .

Також має місце співвідношення

або

Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів, помножене на косинус кута, що утворюють ці вектори:

З визначення та формули випливають наступні властивості цієї дії:

1. Операція векторного добутку є комутативною:

.

Дійсно,

.

2. Асоціативність відносно додавання

3. Для будь-якого дійсного числа

4. Скалярний добуток вектора самого на себе (скалярний квадрат вектора) дорівнює квадрату його довжини:

Дійсно,

5. Необхідна і достатня умови перпендикулярності двох векторів.

Для того, щоб два ненульових вектори і були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю:

.

Доведення необхідності. Нехай і і вони перпендикулярні. Слід довести рівність. Оскільки вектори перпендикулярні, то або і Тоді з знаходимо: .

Доведення достатності. Нехай виконується. Але тоді Оскільки і , то остання рівність можлива тільки у випадку, коли Згідно з визначенням кута між векторами, це означає, що або тобто вектори перпендикулярні.

6. Скалярні добутки базисних векторів системи координат.

Нехай ‑ базисні вектори системи координат . Тоді

7. Координатна форма скалярного добутку.

Якщо вектори і задано в системі координат то їх скалярний добуток дорівнює

Для доведення формули слід скористатись розкладенням векторів по базисним векторам системи координат (12.1):

Тоді

При виведенні цієї формули суттєво використовувалися формули.

Скалярний добуток може бути застосований до розв’язання наступних практичних задач:

1. Обчислення кута між двома ненульовими векторами.

Нехай вектори утворюють кут і , . Тоді з, і (11.2) знаходимо

Формула дозволяє знайти косинус кута між будь-якими векторами, а отже, визначити і сам цей кут.

За допомогою умова перпендикулярності векторів теж може бути записана у координатному вигляді:

2. Обчислення роботи сили.

Нехай матеріальна точка здійснює переміщення з точки у точку під дією сили Тоді робота сили по переміщенню цієї точки дорівнює

3. Обчислення проекції вектора на вектор.

Дійсно, з знаходимо:

,

тоді

Поиск по сайту: