АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Визначник матриці. Мінори і алгебраїчні доповнення. Теореми про алгебраїчні доповнення

Читайте также:
  1. Визначник добутку матриць
  2. Визначники вищих порядків
  3. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
  4. Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.
  5. Граничні теореми теорії ймовірності
  6. Граничні теореми у схемі Бернуллі
  7. Загальні властивості визначників
  8. Задачі на теореми складання і множення ймовірностей
  9. Матриці. Дії з матрицями.
  10. Матриці. Означення. Види матриць
  11. Мінори матриці. Ранг матриці, його обчислення і властивості

 

Розглянемо довільну квадратну матрицю

 

 

Кожній квадратній матриці може бути поставлено у відповідність число, яке називається визначником (детермінантом) матриці і позначається

 

Порядком визначника називається порядок відповідної квадратної матриці. Визначник є визначником порядку.

Строге визначення визначника довільного порядку можна дати за допомогою поняття переставлення [2]. Але можливе визначення визначників вищих порядків через визначники нижчих порядків.

Нехай є матриця першого порядку:

 

, тоді

 

Якщо - матриця другого порядку, , то

 

.

 

Формулу для обчислення визначника другого порядку зручно запам’ятовувати за допомогою наступної діаграми:

 

=
__

 

Визначник для матриці третього порядку () можна обчислювати за правилом трикутника:

 

 

Легко бачити, що доданки у утворюються за допомогою наступної схеми:

 

__ __ ---
detA=

 

Щоб вказати правило обчислення визначників вищих порядків необхідно ввести поняття мінору елемента визначника -го порядку.

Мінором елемента визначника -го порядку називається визначник порядку, який утворюється з даного визначника шляхом відкидання -го рядка і -го стовпця.

 

 

Алгебраїчним доповненням елемента визначника -го порядку називається число, яке дорівнює

 

 

Теорема 1 (Про розкладення визначника по елементам рядка або стовпця).

Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

 

 

Перша формула є розкладенням за елементами -го рядка, а друга формула розкладенням за елементами -го стовпця.

Доведемо ці формули для визначників третього порядку, наприклад, для розкладення за елементами першого рядка (у загальному випадку доведення див. в [1]). Перегрупуємо наступним чином доданки у формулі:

 

.

 

Кожний вираз в дужках дорівнює деякому визначнику другого порядку:

 

.

 

Тепер, якщо скористуватись,, знайдемо

 

 

Аналогічними перетвореннями можна довести формулу розкладення за іншими рядками і за стовпцями. Формули дозволяють послідовно знайти значення визначників будь-якого порядку.

Також корисною є така властивість алгебраїчних доповнень.

Теорема 2. Сума добутків елементів рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнюють 0.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)