Проекція вектора на вісь і її властивості

Розглянемо у просторі деяку вісь і вектор (Рис.12.1).

Кутом між вектором та віссю називається найменший кут, на який потрібно повернути вісь проти ходу годинникової стрілки, щоб її напрямок співпав з напрямком вектора:

Рис 12.1

Очевидно, при такому визначенні значення кута між вектором та віссю знаходиться у межах

Проекцією вектора на вісь називається число, яке дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між вектором та віссю:

Встановимо геометричний зміст поняття проекції.

Рис 12.2

Для цього через початок і кінець вектора проведемо площини перпендикулярно до осі (Рис.12.2) і точки перетину цих площин з віссю позначимо В залежності від кута між вектором та віссю з знаходимо

або

Але тоді згідно

де знак відповідає додатному значенню , а знак від'ємному значенню

Остання рівність встановлює наступний геометричний зміст поняття проекції вектора на вісь. Проекція вектора на вісь з точністю до знака дорівнює довжині відрізка, що відтинається на осі площинами, що проходять перпендикулярно до неї через точки і Ця довжина береться зі знаком плюс, коли косинус кута між вектором та віссю додатний і зі знаком мінус, якщо цей косинус від'ємний.

Розглянемо інші властивості поняття проекції.

1. Рівні вектори мають рівні проекції:

2. Для будь-якого скаляра

При рівність очевидна. Нехай і Якщо то

Коли то

3. Для будь-яких векторів і

Для доведення цієї властивості використаємо геометричний зміст поняття проекції (Рис. 12.3)

Рис 12.3

Згідно з зображеним випадком

,

але

,

звідки випливає.

Нехай -деякі вектори, а -деякі числа. Вираз називається лінійною комбінацією векторів . Узагальненням (10.2) і (10.3) є наступна властивість.

4. Для будь-якої лінійної комбінації векторів має місце рівність:

5. Якщо вектор та вісь перпендикулярні, то

Зауважимо, що для ненульового вектора рівність нулю проекції є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності вектора та осі.

Аналогічно можна ввести поняття проекції вектора на інший вектор . Під нею розуміється число, яке дорівнює

де -кут між векторами та .

Очевидно, що властивості проекції вектора на інший вектор співпадають з властивостями проекції вектора на вісь.

Поиск по сайту: