Мінори матриці. Ранг матриці, його обчислення і властивості

Знову розглянемо довільну прямокутну матрицю

Нехай .

Мінором -го порядку прямокутної матриці називається визначник, побудований з елементів цієї матриці, які розміщені на перетині будь-яких її рядків і стовпців.

Якщо матриця має відмінний від 0 мінор порядку , а всі мінори вищого порядку дорівнюють 0, то число називається рангом матриці. Це позначають наступним чином

.

Зрозуміло, що причому нулю може дорівнювати тільки ранг 0-матриці: .

Відмінний від нуля мінор найвищого порядку називається базисним. Таким чином, можна сказати, що ранг матриці співпадає з порядком базисного мінора.

Теорема (Про обвідні мінори).

Якщо матриця містить мінор порядку , який відмінний від 0, а усі інші мінори порядку , що його обводять дорівнюють 0, то число є ранг матриці.

Покажемо застосування цієї теореми.

Відмінним від 0 мінором порядку є будь-який ненульовий елемент. Наприклад,

.

Мінор другого порядку, що його обводить:

Цей мінор обводять мінори третього порядку:

.

Але можна бачити, що

,

.

Таким чином,

Ще один метод обчислення рангу базується на елементарних перетвореннях матриці, які його не змінюють. Такими перетвореннями є:

1. транспонування матриці;

2. переставлення місцями двох рядків (стовпців);

3. множення (ділення) усіх елементів рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

4. додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на деяке число;

5. відкидання рядків (стовпців) матриці, усі елементи яких є нулі.

За допомогою цих перетворень матриця може бути приведена до вигляду коли визначення рангу стає очевидним.

Поиск по сайту: