Розв’язання. 1) Грань піраміди представляє собою трикутник

1) Грань піраміди представляє собою трикутник. Обчислимо площу трикутника .

Маємо: , . Значить

.

Остаточно одержимо: .

3) Використовуючи формулу для знаходження координат середини відрізка, знаходимо середини , , – точки , , відповідно. Площу перерізу знайдемо за формулою

.

Координати векторів , , тоді

,

.

3) Оскільки

,

знайдемо координати векторів , , та їх мішаний добуток:

.

Отже, .

Задачі для самостійної роботи

1. Дано точки Обчислити .

2. Дано та . Знайти векторний добуток .

3. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо .

4. Вектори і утворюють кут і . Обчислити: .

5. Дано та . Знайти мішаний добуток цих векторів.

6. Дано вершини чотирикутника . Перпендикулярні чи ні його діагоналі?

7. Вектори і перпендикулярні і . Обчислити .

8. Довести, що чотирикутник з вершинами квадрат і обчислити його площу.

9. Обчислити об’єм піраміди :

10. При якому значенні m вектори перпендикулярні?

11. Довести, що точки лежать у одній площині

12. Знайти вектор, який перпендикулярний до векторів та

13. Знайти скалярний добуток векторів та , де

14. Обчислити площу трикутника , якщо

15. Перевірити, чи компланарні вектори , , .

16. Обчислити кут при вершині трикутника , якщо

17. Сила прикладена у точці . Обчислити значення моменту цієї сили відносно точки та його напрямні косинуси.

18. При якому чотири точки , лежать в одній площині?

19. Вершини піраміди знаходяться в точках , , та . Обчислити: 1) площу грані ;2) об’єм піраміди .

20. При якому вектори , , утворюють ліву трійку?

21. Дано вершини піраміди: , .Знайти висоту, проведену з вершини .

22. Дано точки і . Знайти проекцію вектора на вектор .

Питання для повторення

1) Скалярний добуток, його властивості та застосування.

2) Векторний добуток, його властивості та застосування.

3) Змішаний добуток, його властивості та застосування.

§ 21. Розкладення вектора по некомпланарним векторам. Базис тривимірного простору. Базис на координатній площині

Теорема. Якщо вектори некомпланарні, то кожний вектор подається комбінацією цих векторів однозначно:

Покажемо, що завжди існують числа такі, що виконується рівність. Якщо цю рівність записати у координатному вигляді, то отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Оскільки вектори не компланарні, то визначник цієї системи відмінний від

Тому система завжди має єдиний розв’язок.

Будь-які три некомпланарні вектори називаються базисом тривимірного простору. Рівність називається розкладенням вектора у цьому базисі, а числа ‑ його координатами у базисі

Якщо вектори ‑ мають одиничні довжини і взаємно перпендикулярні, то утворений ними базис називається ортонормованим. Для цих векторів виконуються рівності:

Якщо порівняти рівності і, то можна бачити, що базисні вектори будь-якої системи координат утворюють ортонормований базис тривимірного простору.

Аналогічно встановлюється, що два довільних некомпланарних вектори утворюють базис на координатній площині. Будь-який інший вектор з цієї площини може бути розкладений в цьому базисі:

Числа називаються координатами вектора в базисі . Базисні вектори двомірної системи координат утворюють на площині ортонормований базис.

Поиск по сайту: