Мішаний (векторно-скалярний) добуток трьох векторів

Нехай - впорядкована трійка векторів. Якщо векторний добуток перших двох векторів та скалярно помножити на третій вектор то отримане число називається мішаним (векторно-скалярним) добутком трьох векторів.

Для цієї дії над векторами встановлюються такі властивості.

1. Мішаний добуток трьох некомпланарних векторів за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, як на ребрах.

Розмістимо вектори так, щоб вони виходили з однієї точки і побудуємо на них паралелепіпед (Рис. 19.1).

Рис 19.1

Об’єм побудованого паралелепіпеда дорівнює

де - площа основи, а - його висота.

Нехай , тоді площа основи дорівнює

- кут, утворений векторами та Згідно з визначенням мішаного добутку

де - кут, утворений векторами і

У випадку, коли трійка - права (див. Рис. 20.1), і , - висота паралелепіпеда. У випадку лівої трійки і

Тому

Знак відповідає випадку правої, а лівої трійки векторів. отже, якщо взяти мішаний добуток за абсолютною величиною, то

Якщо взяти трикутну призму або трикутну піраміду, побудовану на цих векторах (рис. 19.2), то

Рис 19.2

2. Мішаний добуток додатній, якщо - права трійка, і від’ємний у випадку лівої трійки.

3. При перестановці місцями множників так, що не змінюється орієнтація трійки векторів, не змінюється значення мішаного добутку:

4. Якщо вектори задані координатами то

Дійсно, згідно формули для векторного добутку і формули, знаходимо скалярний добуток:

5. Необхідна і достатня умова компланарності. Для того, щоб три ненульові вектори були компланарними, необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю:

Доведення необхідності. Нехай - компланарні і розміщені у одній площині (Рис. 19.3):

Рис 19.3

Вектор перпендикулярний до вектора і до вектора тому а значить тому

Доведення достатності. Нехай мішаний добуток дорівнює нулю: По-перше, це можливо, коли . Це означає, що - колінеарні. Тому можуть бути розміщені у одній площині.

Якщо то Але також і , отже, усі три вектори можуть бути розміщені в площині перпендикулярно до вектора

Поиск по сайту: