Координати вектора. Визначення вектора за його координатами. Лінійні операції над векторами у координатній формі

Нехай у просторі є система координат і довільний вектор . Через позначимо кути, що утворює вектор з координатними осями:

Рис 13.1

Введемо до розгляду проекції вектора на координатні вісі:

, ,

Впорядковану трійку чисел , які є проекціями вектора на відповідні координатні вісі, називають координатами вектора у прямокутній системі координат .

Те, що вектор має координати , будемо записувати так:

Згідно визначення проекції та знаходимо:

Таким чином, якщо відомі довжина та напрямок вектора, то його координати однозначно визначаються формулами. Доведемо, що за координатами вектора можна знайти його довжину і напрямок.

Нехай відомі координати вектора . Побудуємо на цьому векторі як на діагоналі (Рис. 13.1) прямокутний паралелепіпед. Тоді знаходимо:

Аналогічно

Для діагоналі прямокутного паралелепіпеду має місце формула

.

Звідси випливає

Отже, якщо є координати вектора, то його довжина визначається формулою. Напрямок вектора визначається кутами, які він утворює з координатними осями. Якщо , то з знаходимо:

Ці формули дозволяють однозначно визначити кути між вектором і координатними осями, при умові Косинуси кутів, що утворює вектор з осями координат, називаються його напрямними косинусами. Згідно з маємо:

Таким чином,

Отже кути, що утворює вектор з осями координат, не можуть бути довільними. Вони мають бути такими, щоб виконувалась рівність.

Нехай є два вектори, які задані своїми координатами: і . Очевидно, оскільки рівні вектори мають рівні проекції, то, якщо , то і .

З формул, випливає, що при рівних координатах вектори та мають однакові довжину і напрямок, тобто є рівними. Таким чином, будь-який вектор однозначно визначається своїми координатами.

Розглянемо, що відбувається з координатами векторів при здійсненні лінійних операцій.

Нехай - довільне число, тоді згідно

Це означає, що

.

Таким чином, при множенні вектора на число на це число множиться кожна його координата.

Для суми за формулою знаходимо

,

а це означає, що

.

Отже, додаванню векторів відповідає додавання їх відносних координат.

Формули, узагальнюються на випадок лінійної комбінації довільної системи векторів :

Формули - встановлюють правила дій над векторами у координатній формі.

Поиск по сайту: