Поділ відрізка у даному відношенні. Відшукання координат центра тяжіння системи матеріальних точок

Поняття векторів та їх координат дозволяють легко розв’язувати такі практично важливі задачі, як поділ відрізка у даному відношенні і обчислення координат центра тяжіння системи матеріальних точок.

Задача поділу відрізка у заданому відношенні формулюється наступним чином. У деякій системі координат задані дві точки і . Необхідно знайти координати точки , яка ділить відрізок у заданому відношенні :

Для розв’язання позначимо координати точки і розглянемо радіус-вектори (Рис.16.1):

.

Рис 15.1

Оскільки вектори і колінеарні і однаково спрямовані, то з випливає рівність:

Але , тоді

Звідси знаходимо

Формула знаходить радіус-вектор невідомої точки і є векторним розв’язком задачі про поділ відрізка. Запис у координатній формі дає такі формули для координат:

Отримані формули можна застосувати до розв’язання задачі відшукання центра тяжіння системи матеріальних точок з масами .

Спочатку визначимо точку , яка є центром тяжіння двох точок і . Ця точка знаходиться на відрізку і розділяє його на відрізки обернено пропорційно масам, зосередженим у цих точках

Нехай ‑ радіус-вектор точки . Тоді з при знаходимо

Тепер радіус-вектор точки тяжіння системи трьох точок знаходиться за, у припущенні, що в точці зосереджена маса , а у точці знаходиться маса :

Після підстановки значення з і перетворень отримаємо наступну формулу для радіус-вектора центра тяжіння системи трьох точок:

З огляду на формули, можна висунути припущення, що радіус-вектор точки , яка є центром тяжіння системи матеріальних точок, знаходиться за формулою:

Строге доведення цієї формули можна здійснити згідно з методом математичної індукції. Формула може бути переписана також і у координатній формі:

§16. Задачі на обчислення координат точок в різних системах. Дії над векторами в координатній формі

Задача 16.1. Знайти координати середини відрізка , якщо , а .

Поиск по сайту: