Системи координат на прямій, площині і у просторі. Координати точки

Координати є засобом для визначення положення точки за допомогою чисел. Введення координат точки почнемо з простішого випадку, а саме прямої. Для цього на прямій необхідно задати початкову точку і додатний напрямок, припустимо, праворуч від точки (Рис. 10.1).

Рис. 10.1

Окрім того, необхідно задати одиницю виміру відстані (масштаб), тобто вказати відрізок довжина якого вважається одиничною:

Пряма, на якій задано початкову точку, додатний напрямок і масштаб, називається координатною віссю або одновимірною системою координат.

Точка називається початком координат. Для координатних осей використовують наступні позначення:

Візьмемо на осі довільну точку (Рис.10.1).

Координатою точки називається число яке дорівнює довжині відрізка якщо точка знаходиться на додатному напрямку осі і довжині цього відрізка зі знаком мінус, коли точка знаходиться на від’ємному напрямку. Тобто

Координата початкової точки дорівнює

Якщо число є координатою точки то це записують так:

Можна бачити, що кожній точці на координатній осі відповідає єдине дійсне число, а кожному дійсному числу відповідає тільки одна точка на координатній осі.

Таким чином, між дійсними числами і точками координатної осі встановлено взаємно однозначну відповідність. В зв’язку з цим координатну вісь ще називають числовою віссю.

Щоб ввести системи координат на площині і у просторі, необхідно ввести поняття кута між двома впорядкованими осями. Нехай є дві впорядковані осі, що перетинаються у точці : і (Рис 10.2).

Рис. 10.2

Кутом між двома впорядкованими осями і називається найменший кут на який потрібно повернути першу вісь щоб її додатний напрямок збігся з додатним напрямком другої осі .

Коли обертання відбувається проти хода годинникової стрілки, то кут вважається додатним. Якщо обертання відбувається за ходом годинникової стрілки, то кут вважається від’ємним.

З визначення можна бачити, що .

Часто розглядають обертання тільки в додатному напрямку осі

Нехай на площині є дві впорядковані осі і які утворюють кут і перетинаються у точці (Рис. 10.3). Такі осі складають прямокутну (декартову) систему координат на площині. Точка є початком системи координат.

Рис. 10.3

Позначати систему координат будемо наступним чином: .

Система координат називається правою, якщо поворот на найменший кут першої осі до другої здійснюється проти ходу годинникової стрілки. У протилежному випадку система координат називається лівою. горизонтальну вісь прийнято називати віссю абсцис, вертикальну вісь – віссю ординат. Площина, на якій введено систему координат, називається координатною площиною. Координатна площина поділяється осями на чверті, нумерація яких показана на Рис. 10.3. Визначимо координати точки в такій системі. Нехай - довільна точка площини. Проведемо через точку перпендикуляри до координатних осей, через позначимо точки перетину перпендикулярів з осями і Точки є проекціями точки на координатні осі. Нехай точка на осі має координату а точка на осі має координату Тоді впорядковану пару чисел будемо називати координатами точки у системі координат Той факт, що впорядкована пара чисел є координатами точки будемо далі записувати наступним чином:

Таким чином, між точками координатної площини і множиною впорядкованих пар дійсних чисел встановлюється взаємно-однозначна відповідність. Тому систему координат на площині називають двовимірною, а саму координатну площину двовимірним простором.

Окрім прямокутної декартової у практичній діяльності, зокрема судноводінні і навігації, поширена так звана полярна система координат для визначення положення точки на площині. Для побудови такої системи обирається довільна точка площини яка називається полюсом. Далі з цієї точки проводиться промінь який називається полярною віссю (Рис.10.4)

Рис 10.4

На полярній осі задається одиниця виміру довжини Полюс і полярна вісь з заданою одиницею довжини утворюють полярну систему координат на площині.

Положення довільної точки на площині визначається наступним чином. Проводиться промінь Відрізок називається полярним радіусом, його довжина позначається Кут між полярною віссю і променем визначений з врахуванням напряму повороту, називається полярним кутом і позначається Якщо обертання полярної осі здійснюється проти ходу годинникової стрілки, кут вважається додатнім, якщо за ходом, то від'ємним.

Полярними координатами точки називається упорядкована пара чисел де - довжина полярного радіусу, - величина полярного кута. Те, що ці числа є полярними координатами точки , записують так:

Між полярними координатами і точками на площині встановлюється взаємно однозначна відповідність за умов

або

Визначимо зв'язок між полярними і прямокутними координатами точки при умові, що центр прямокутної системи збігається з полюсом полярної системи, а вісь абсцис збігається з полярною віссю (Рис.10.5).

Рис 10.5

Нехай точка у прямокутній системі має координати а у полярній Тоді з співвідношення між гіпотенузою та катетами прямокутного трикутника знаходимо

Наведені формули виражають декартові координати точки через полярні.

Зворотній зв'язок за умови дається формулами

У просторі прямокутну (декартову) систему координат утворюють впорядковані трійки взаємно перпендикулярних осей які перетинаються у точці (Рис.10.6). Точка називається початком координат.

Рис 10.6

Система координат називається правою системою координат при умові, що з додатного напрямку третьої осі поворот на найменший кут першої осі до другої спостерігається проти ходу годинникової стрілки. В протилежному випадку система координат називається лівою. Простір, в якому введено систему координат, називається координатним простором.

називається віссю абсцис, - віссю ординат, - віссю аплікат.

Нехай - довільна точка простору. Проведемо через цю точку перпендикулярно до координатних осей площини (Рис.10.6). Через позначимо точки перетину цих площин з координатними осями. Нехай точка має координату на осі має координату на осі має координату на осі Тоді впорядковану трійку чисел будемо називати координатами точки у тривимірній системі координат і записувати це наступним чином:

Таким чином, кожній точці простору відповідає у системі координат впорядкована трійка чисел. Кожній впорядкованій трійці чисел відповідає точка простору. Між трійками чисел і точками координатного простору встановлюється взаємно однозначна відповідність. Множини усіх впорядкованих трійок чисел називається тривимірним простором і позначається

Поняття простору може бути узагальнено.

Розглянемо множину усіх впорядкованих сукупностей з дійсних чисел

Множина усіх можливих сукупностей з дійсних чисел називається - вимірним простором, або простором вимірів і позначається

Кожна впорядкована сукупність з дійсних чисел називається точкою - вимірного простору і позначається Числа називаються координатами точки - вимірного простору.

Точку у прямокутній системі координат можна визначити не тільки декартовими координатами, а ще й циліндричними і сферичними. Нехай - проекція точки на площину (Рис. 10.7).

Рис 10.7

Ця точка у полярній системі координат з полюсом і полярною віссю має координати Тоді впорядковану трійку чисел називають циліндричними координатами точки і записують це так: Зв'язок між декартовими координатами точки і її циліндричними координатами, як можна бачити з Рис.10.7 і формул, встановлюється формулами

Для введення сферичних координат точки знову розглядається її проекція на площину і полярні координати точки (Рис.10.7) і проводиться площина через точку і вісь аплікат Нехай відстань від початку координат до точки дорівнює а кут між віссю і променем дорівнює Тоді впорядковану трійку чисел називають сферичними координатами точки і записують це так: Щоб встановити зв'язок між прямокутними і сферичними координатами точки з знаходимо

Остаточно згідно приходимо до формул:

Поиск по сайту: