Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі. Дослідження неоднорідних і однорідних систем лінійних рівнянь

Розглянемо довільну систему лінійних рівнянь

З цією системою пов’язані наступні матриці:

Матриці - узгодженні і їх можна перемножити:

Рівності означають, що відповідні елементи стовпчиків і однакові. Тому можна записати

Формула є матричним записом неоднорідної системи. У випадку, коли система однорідна, стовпчик складається лише з нулів. Тому матричний запис однорідної системи має вигляд:

З системою, окрім матриць можна пов’язати ще наступну матрицю

Матриця називається розширеною матрицею системи.

Має місце наступна теорема, яка є центральною теоремою теорії лінійних систем.

Теорема (Кронекера-Капеллі). Система сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу її розширеної матриці [2].

З цієї теореми випливає, що умова

є необхідною і достатньою умовою сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Застосуємо цю теорему до лінійної неоднорідної системи.

Зрозуміло, що коли то така система несумісна і розв’язків немає.

Нехай тепер

Тоді якщо то система має нескінченну кількість розв’язків.

Коли , система має єдиний розв’язок.

Важливим випадком є система з квадратною матрицею Це означає, що кількість невідомих і рівнянь в системі однакові. Тоді, щоб виконувалась рівність і , необхідно, щоб

– умова того, що система з квадратною матрицею має єдиний розв’язок.

У випадку, коли має місце і , лінійна система з квадратною матрицею має безліч розв’язків.

Нехай тепер система однорідна. Тоді матриці і відрізняються на - стовпчик і тому рівність завжди має місце. Дійсно, будь-яка однорідна система має нульовий розв’язок. Коли , цей розв'язок єдиний: . Якщо , однорідна система має безліч розв’язків, тобто існують і ненульові розв’язки системи.

Якщо матриця однорідної системи квадратна, то при здійсненні умови така система має єдиний нульовий розв’язок. Щоб у однорідній системі з квадратною матрицею існували ненульові розв’язки, повинна виконуватись умова

Поиск по сайту: