Векторний добуток векторів і його основні властивості

Якщо розглядати впорядковані трійки некомпланарних векторів то їх можна поділити на такі, що мають праву і ліву орієнтацію. Впорядкована трійка векторів називається правою, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектора спостерігається проти годинникової стрілки (Рис. 18.1)

Рис 18.1

У протилежному випадку трійка векторів називається лівою.

Векторним добутком вектора на вектор називається вектор що задовольняє наступним трьом умовам:

1. - найменший кут між векторами і

2. перпендикулярний до кожного з векторів і

3. трійка векторів має бути правою.

Векторний добуток позначається так: .

Як можна бачити з визначення, модуль векторного добутку за значенням дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах (Рис. 18.2)

Рис 18.2

Основні властивості векторного добутку:

1. Операція векторного добутку не є комутативною. При зміні множників місцями напрямок векторного добутку змінюється на протилежний.

Дійсно, розглянемо вектори і За визначенням але щоб трійки і були правими (Рис. 18.2), вектори і мають мати протилежний напрямок, тому або

2. Для будь-яких трьох векторів

.

3. Для будь якої сталої

.

4. Необхідна і достатня умова колінеарності.

Для того, щоб два ненульових вектори і були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нульовому вектору:

Нехай і - колінеарні і Тоді - найменший кут, утворений цими векторами, дорівнює або В обох випадках і отже,

Якщо виконується рівність, тоді

Оскільки і то це можливо тільки тоді, коли Але це означає, що або тобто вектори розміщені на одній або паралельних прямих.

Наслідком з доведеної теореми зокрема є таке: векторний добуток вектора на самого себе дорівнює нульовому вектору

5. Векторні добутки базисних векторів системи координат.

Для базисних векторів будь-якої прямокутної системи координат виконуються рівності:

Можна бачити, що множення базисних векторів відбувається згідно з правилом кругової перестановки (Рис. 18.3)

Рис 18.3

Перші три рівності у є безпосереднім наслідком. Доведемо, наприклад, що Дійсно, трійка векторів є правою, Також Отже, дійсно

6. Векторний добуток векторів заданих координатами.

Якщо то

Дійсно:

З урахуванням знаходимо

Кожний вираз в дужках є визначником другого порядку і тому результат може бути записаний у наступному вигляді:

Поиск по сайту: