Розкладання вектора по базисним векторам (ортам) системи координат. Визначення вектора координатами початку і кінця. Обчислення відстані між двома точками у просторі

З кожною просторовою системою координат можна пов’язати три вектора , що мають довжину і спрямовані так само, як вісі відповідно (Рис.14.1). Вектори називаються ортами координатних осей , або базисними векторами системи координат .

Рис 14.1

Базисні вектори системи координат мають координати

Має місце теорема.

Теорема. Довільний вектор може бути поданий у вигляді

Дійсно, згідно з:

Буде вірною і обернена теорема.

Теорема. Якщо для вектора має місце подання, то .

Дійсно, згідно властивостям проекції

Аналогічно, , .

Кожній точці простору можна поставити у відповідність вектор , який називається радіус-вектором цієї точки.

Має місце теорема.

Теорема. Якщо , то у цій же системі координат її радіус-вектор .

Розглядаємо проекції на координатні вісі (рис.15.1):

.

Тому .

Теорема. Нехай і , . Тоді різниці дорівнюють відповідним координатам вектора .

Розглянемо радіус вектори точок і : , .

З векторного трикутника (рис 14.2) .

Рис 14.2

Формула показує, що координати будь-якого вектора дорівнюють різницям відповідних координат його кінця і початку.

Оскільки відстань між точками і дорівнює довжині вектора , то маємо формулу для обчислення відстані між двома точками, заданими своїми координатами:

Поиск по сайту: