Розв’язання. Оскільки напрямки координатних осей співпадають, то нова система координат отримана за допомогою паралельного перенесення

Оскільки напрямки координатних осей співпадають, то нова система координат отримана за допомогою паралельного перенесення. Застосувавши відповідні формули, маємо:

Отже, в системі точка .

Задачі для самостійної роботи

1. Перевірити, чи утворюють вектори базис тривимірного простору та знайти компоненти вектора у цьому базисі.

а) ,

б) ,

2. В системі дано точку . Знайти її координати в системі , центр якої в має координати і напрямки відповідних координатних осей співпадають.

3. В системі дано точку . Знайти її координати в системі , яка отримана з в результаті повороту на кут .

Питання для повторення

1) Базис. Розкладення вектора по некомпланарним векторам.

2) Формули паралельного перенесення і повороту.

§24. Метричний вимірний простір. Лінійний вимірний векторний простір і його базис. Евклідів простір

Розглянемо вимірний простір що складається з точок вимірний простір називається метричним простором, якщо кожним двом елементам ставиться у відповідність число , яке називається метрикою або відстанню і задовольняє умовам:

1. і і - співпадають;

2.

3. для будь яких трьох елементів

Візьмемо дві довільні точки Знайдемо відстань між двома точками за наступною формулою:

Можна довести, що для відстані, заданої формулою, виконуються усі умови Але не єдиний спосіб завдання відстані у Так, якщо взяти

то умови теж виконуються, і кожне з цих чисел можна розглядати як відстань між двома точками у Але перевагою є те, що при отримуються формули для відстані між точками на координатній прямій, координатній площині, у координатному просторі.

Нехай - довільні точки з Назвемо вимірним вектором впорядковану сукупність чисел

Числа називаються координатами вимірного вектора і те, що вектор має координати , позначають наступним чином

Модулем вимірного вектора називається корінь квадратний з суми квадратів його координат:

Можна бачити, що якщо використовувати метрику, то модуль вимірного вектора дорівнює відстані між його початком і кінцем.

Рівними вимірними векторами і назвемо такі, що мають однакові відповідні координати:

Введемо для вимірних векторів лінійні операції (множення на число, додавання) так само, як вони здійснюються над векторами у просторі у координатній формі.

1. Для будь якого

2. Для будь яких і

Цим операціям притаманні такі властивості.

1. (комутативність додавання);

2. (асоціативність додавання);

3. Якщо то

(існування нульового елемента);

4. Для будь якого вектора

(існування протилежного елемента);

5. (асоціативність множення на число);

6. (дистрибутивність відносно додавання чисел);

7. (дистрибутивність відносно додавання векторів).

Множина у який введено лінійні операції, що задовольняють властивості називається лінійним простором. Отже, вимірний векторний простір з введеними вище операціями є лінійним простором.

Нехай є система вимірних векторів.

Має місце теорема, аналогічна теоремі про розкладення будь-якого вектора по некомпланарним.

Теорема. Якщо вектори такі, що

,

то будь-який вектор може бути однозначно поданий у вигляді

.

Будь-які векторів, що задовольняють умові називаються базисом вимірного векторного простору. Рівність називається розкладенням вектора у базисі а числа координатами вектора у цьому базисі.

Складемо лінійну комбінацію векторів і прирівняємо її до нульового вектора

Зрозуміло, що коли усі то ця рівність здійснюється. Але якщо виконується умова, рівність можлива тільки у цьому випадку.

Якщо лінійна комбінація векторів дорівнює 0-вектору тоді і тільки тоді, коли то ці вектори називаються лінійно незалежними. Отже, будь-які лінійно незалежні вектори утворюють базис вимірного простору. Умова є необхідною і достатньою умовою лінійної незалежності векторів.

Лінійний векторний простір називається Евклідовим, якщо кожній парі векторів і ставиться у відповідність число яке називається скалярним добутком і задовольняє умовам:

1. причому ;

2. ;

3. ;

4. .

Введемо у вимірному векторному просторі скалярний добуток двох векторів згідно з формулою

За такого введення скалярного добутку для нього виконуються усі умови і векторний простір буде Евклідовим.

З також випливає, що

Для будь-яких вимірних векторів і виконується нерівність (Коши-Буняковського):

З нерівності при випливає, що

Тоді існує кут такий що

Найменший з кутів що задовольняють рівності, називається кутом між двома вимірними векторами. Ненульові вектори і будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли

Вектори такі, що і є лінійно незалежними і утворюють базис, який називається ортонормованим. Прикладом такого базису є вектори

§25. Приклади розв’язування задач на вектори в n -вимірному просторі

Задача 25.1. У п’ятивимірному просторі дано точки та . Знайти та компоненти вектора .

Поиск по сайту: