Глава I. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ ТА ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

ЗМІСТ

Вступ …………………………………………………………………………….…..5

Глава I. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ ТА ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ ……………………………7

§1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Матриця системи………………….7

§2. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості.

Транспонування матриць. Добуток матриць………...…………..…………….8

§3. Визначник матриці. Мінори і алгебраїчні доповнення.

Теореми про алгебраїчні доповнення……………………………………...….12

§4. Загальні властивості визначників……………………………………………..15

§5. Мінори матриці. Ранг матриці, його обчислення і властивості……………..17

§6. Обчислення визначників. Дії над матрицями………………………………...18

§7. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Теорема Кронекера-Капеллі. Дослідження неоднорідних і однорідних

систем лінійних рівнянь…………….………………………………………….24

§8. Поняття оберненої матриці. Матричний метод розв’язання лінійних

алгебраїчних систем. Формули Крамера……….……………………………..27

§9. Задачі на дослідження на сумісність і розв’язування систем лінійних

рівнянь. Метод Гауса……………………………………………………….….30

§10. Системи координат на прямій, площині і у просторі. Координати точки...42

§11. Скалярні та векторні величини. Поняття вектора. Лінійні операції

з векторами у геометричній формі і їх властивості………………………...48

§12. Проекція вектора на вісь і її властивості………….…………………………50

§13. Координати вектора. Визначення вектора за його координатами.

Лінійні операції над векторами у координатній формі……...……………..53

§14. Розкладання вектора по базисним векторам (ортам) системи

координат. Визначення вектора координатами початку і кінця.

Обчислення відстані між двома точками у просторі….……………………56

§15. Поділ відрізка у даному відношенні. Відшукання координат центра

тяжіння системи матеріальних точок………………..………………………58

§16. Задачі на обчислення координат точок в різних системах.

Дії над векторами в координатній формі………………………..…………..61

§17. Скалярний добуток векторів і його основні властивості……….…………..66

§18. Векторний добуток векторів і його основні властивості……….…………..70

§19. Мішаний (векторно-скалярний) добуток трьох векторів…………………..74

§ 20. Задачі на застосування скалярного, векторного та мішаного добутків…..77

§ 21. Розкладення вектора по некомпланарним векторам.

Базис тривимірного простору. Базис на координатній площині…………..88

§22. Матриця переходу від одного базису до іншого. Перетворення

координат. Формули паралельного перенесення і повороту………………89

§23. Приклади розв’язання задач на розкладення векторів по

довільному базису і перетворення координат……………………...……….94

§24. Метричний вимірний простір. Лінійний вимірний векторний

простір і його базис. Евклідів простір……………………………………....97

§25. Приклади розв’язування задач на вектори в n -вимірному просторі……..101

Глава II. ЕЛЕМЕНТИ АНЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ………………………………………103

§26. Поняття рівняння поверхні і лінії у просторі. Рівняння

сферичної поверхні..……………………………………………………..….103

§27. Загальне рівняння площини і його дослідження…..………………………106

§28. Рівняння площини у відрізках на координатних осях. Рівняння

площини, що проходить через три задані точки. Обчислення відстані

від точки до площини..………………………………………………………108

§29. Кут між двома площинами. Умови паралельності і

перпендикулярності площин..………………………………………………110

§30. Розв'язання задач на складання рівнянь площини та взаємне

розміщення площин у просторі……………………………………………..111

§31. Рівняння прямої у просторі…………………………………………………118

§32. Відстань від точки до прямої у просторі. Взаємне розміщення прямих.

Обчислення кута між двома прямими..…………………………………….120

§ 33. Задачі на пряму у просторі. Складання рівнянь, дослідження

взаємного розміщення прямих у просторі…………………………………123

§34. Взаємне розміщення прямої і площини……………………………………128

§35. Задачі на взаємне розміщення прямої та площини………………………..129

§36. Загальне і параметричне рівняння лінії на координатній площині.

Рівняння кола. Загальне рівняння прямої на площині…………………….134

§37. Різні види рівняння прямої на координатній площині……………………137

§38. Обчислення відстані від точки до прямої і кута між двома прямими

на координатній площині…….……………………………………………..140

§ 39. Пряма на координатній площині. Приклади розв’язування задач………142

§40. Визначення еліпса і виведення його канонічного рівняння.

Дослідження форми еліпса за його рівнянням…………………………….150

§ 41. Визначення гіперболи і виведення її канонічного рівняння.

Дослідження форми гіперболи за її рівнянням……………………………154

§ 42. Визначення параболи і виведення її канонічного рівняння.

Дослідження форми і властивостей параболи……………………………..157

§ 43. Складання і дослідження канонічних рівнянь кривих другого порядку 159

§ 44. Загальне рівняння кривої другого порядку……………………………….164

§ 45. Циліндричні поверхні. Рівняння еліптичного або кругового циліндру…174

§ 46. Конічні поверхні. Рівняння кругового конуса…………………………….175

§ 47. Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку……………..176

§ 48. Розв’язування задач на складання рівнянь поверхонь

та їх дослідження…………………………………………………………….180

Відповіді …………………………………………………………………………...183

Додаток …………………………………………………………………………...186

Література ………………………………………………………………………...200

Вступ

Запропонований навчальний посібник призначений для вивчення таких розділів вищої математики, як лінійна, векторна алгебра та аналітична геометрія. Метою його є забезпечення знаннями з цих розділів, необхідних для вивчення інших фундаментальних (фізика, теоретична механіка, опір матеріалів, інженерна графіка) і спеціальних дисциплін, для студентів вищих навчальних закладів, які навчаються за напрямком 6.070104 «Морський та річковий транспорт» очної та заочної форм навчання. Також посібник має дати можливість студентам і курсантам набути навичок застосовувати апарат лілійної та векторної алгебри і аналітичної геометрії для розв’язання задач, які виникають у їх практичній діяльності.

Автори прагнули викласти матеріал по можливості доступно, але не за рахунок математичної строгості. Теоретичні положення ілюструються численними прикладами і розібраними типовими задачами, які закріплюють і пояснюють теоретичний матеріал. При підборі задач увага приділялась не лише формально-математичній стороні, а й прикладному змісту. Після кожної логічно завершеної частини теоретичного матеріалу надаються питання для самоконтролю, а також задачі і вправи для самостійного розв’язання з наданими відповідями. Все це сприяє засвоєнню теоретичного матеріалу і робить посібник зручним для самостійного вивчення розглянутих розділів курсу вищої математики.

Посібник складається з двох частин, розділених на 48 параграфів, списку рекомендованої літератури та додатків.

В §1-9 викладається матеріал з лінійної алгебри. Вводиться поняття системи лінійних алгебраїчних рівнянь і її матриці, а також визначника матриці. Розглядаються питання сумісності систем лінійних алгебраїчних рівнянь, а також основні методи їх розв’язання.

§10-25 містить основні положення векторної алгебри. Вводяться поняття координат точки і вектора, вивчаються дії над векторами в геометричній та координатній формах. Дається поняття базису системи координат і вивчаються такі важливі для навігації поняття, як перехід від одного базису до іншого і перетворення координат. Поняття простору і векторів у ньому узагальнюється на випадок вимірного.

Змістом §26-48 є матеріал з аналітичної геометрії. Вводяться поняття рівнянь поверхні і лінії у просторі, а також лінії на координатній площині. Розглядаються різні випадки рівнянь площини і прямої у просторі і досліджується їх взаємне положення.

Значна увага приділяється таким значним для навігації питанням, як обчислення відстані від точки до площини і від точки до прямої, а також відстані між двома паралельними площинами і прямими. Пряма на координатній площині вивчається як частинний випадок прямої у просторі. Дано визначення основних кривих другого порядку і виведені їх канонічні рівняння. Розглянуто приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду. Вивчаються циліндричні, конічні поверхні, поверхні обертання і поверхні другого порядку.

Додатки містять теоретичні питання і зразки практичних завдань з модульного контролю за матеріалом змістовних модулів «Лінійна і векторна алгебра», «Аналітична геометрія».

Список літератури містить додаткову навчальну літературу і літературу для більш глибокого вивчення розглянутих розділів курсу вищої математики.

Сподіваємось, що даний посібник допоможе ґрунтовно засвоїти викладені розділи і буде корисним також при подальшому навчанні.

Глава I. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ ТА ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Поиск по сайту: