АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Базис. Координаты вектора в базисе

Читайте также:
  1. II. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)
  2. III. Умножение вектора на число
  3. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  4. Алгоритм определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы с положительными элементами.
  5. Б) Множення вектора на скаляр
  6. Базис векторного пространства. Координаты вектора
  7. Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису
  8. Билет 19Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве
  9. Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе
  10. Билет 7 Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой. Понятие линейного пространства и подпространства, критерии подпространства
  11. Билет 8. Векторное произведение, его геометрический смысл, выражение через координаты. Базис и размерность линейного пространства.

Рассмотрим понятие базиса для произвольного линейного пространства L.

Определение 4.21. Базисом линейного пространства L называется любая упорядоченная система линейно независимых векторов этого пространства таких, что каждый вектор представим в виде линейной комбинации этих векторов, т.е.

, (16)

Выражение (16) называется разложением вектора по базису , а коэффициенты в разложении { }() называются координатами вектора относительно данного базиса.

Замечание. Каждому вектору ставится в соответствие единственный набор чисел { }() и наоборот, т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Таким образом, вектор можно задавать его координатами: .

Такой вектор называется n - мерным арифметическим вектором или просто n - мерным вектором. Название «n - мерный вектор» связано с тем, что при n =2 или n =3 получаем координаты вектора на плоскости или в пространстве.

Замечание. Коэффициенты одного и того же вектора в разложениях по разным базисам различны.

Замечание. Координаты вектора можно также записывать в виде строчной или столбцевой матриц. Поэтому очень часто под вектором понимают соответствующую сточную (столбцевую) матрицу и наоборот: при необходимости любую матрицу рассматривают как вектор с соответствующими координатами. Строчные(столбцевые) матрицы частоназывают вектор-строкой (вектор-столбцом).

В пространстве L существует много различных базисов, однако все они состоят из одного и того же числа векторов. Количество векторов в базисе называется размерностью линейного пространства. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L (от французского слова dimension – размерность). Пространство L размерности n будем называть n - мерным и писать

Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность будем считать равной нулю.

Замечание. Из определения базиса 21 и теорем 1, 2 и 4 следует: 1) базисом векторов на прямой является любой ненулевой вектор , лежащий на этой прямой; 2) базисом векторов на плоскости является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов , принадлежащих этой плоскости; 3) базисом векторов в трехмерном пространстве является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов этого пространства. Такие базисы называют аффинными базисами векторов прямой, плоскости и трехмерного пространства соответственно. Множество векторов прямой образует одномерное, плоскости — двумерное, обычного пространства — трехмерное векторные пространства. Выше мы обозначили их через соответственно. Здесь нижний индекс означает размерность пространства.

Пространства, в которых нельзя указать базис, состоящий из конечного числа векторов, называются бесконечномерными. Примером бесконечномерного про­странства может служить множество С [ a, b ] непрерывных на отрезке [ a, b ] функций f(t), для которых операции сложения и умножения на число определены естественным образом.

В дальнейшем мы будем рассматривать конечномерные векторные пространства.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)