 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Базис. Координаты вектора в базисе
Рассмотрим понятие базиса для произвольного линейного пространства L.
Определение 4.21. Базисом линейного пространства L называется любая упорядоченная система линейно независимых векторов 
этого пространства таких, что каждый вектор 
представим в виде линейной комбинации этих векторов, т.е.
, (16)
Выражение (16) называется разложением вектора 
по базису 
, а коэффициенты в разложении { 
}(
) называются координатами вектора относительно данного базиса.
Замечание. Каждому вектору ставится в соответствие единственный набор чисел { }() и наоборот, т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.
Таким образом, вектор можно задавать его координатами: 
.
Такой вектор называется n - мерным арифметическим вектором или просто n - мерным вектором. Название «n - мерный вектор» связано с тем, что при n =2 или n =3 получаем координаты вектора на плоскости или в пространстве.
Замечание. Коэффициенты одного и того же вектора в разложениях по разным базисам различны.
Замечание. Координаты вектора можно также записывать в виде строчной 
или столбцевой 
матриц. Поэтому очень часто под вектором понимают соответствующую сточную (столбцевую) матрицу и наоборот: при необходимости любую матрицу рассматривают как вектор с соответствующими координатами. Строчные(столбцевые) матрицы частоназывают вектор-строкой (вектор-столбцом).
В пространстве L существует много различных базисов, однако все они состоят из одного и того же числа векторов. Количество векторов в базисе называется размерностью линейного пространства. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L (от французского слова dimension – размерность). Пространство L размерности n будем называть n - мерным и писать 
Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность будем считать равной нулю.
Замечание. Из определения базиса 21 и теорем 1, 2 и 4 следует: 1) базисом векторов на прямой является любой ненулевой вектор 
, лежащий на этой прямой; 2) базисом векторов на плоскости является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов 
, принадлежащих этой плоскости; 3) базисом векторов в трехмерном пространстве является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов 
этого пространства. Такие базисы называют аффинными базисами векторов прямой, плоскости и трехмерного пространства соответственно. Множество векторов прямой образует одномерное, плоскости — двумерное, обычного пространства — трехмерное векторные пространства. Выше мы обозначили их через 
соответственно. Здесь нижний индекс означает размерность пространства.
Пространства, в которых нельзя указать базис, состоящий из конечного числа векторов, называются бесконечномерными. Примером бесконечномерного пространства может служить множество С [ a, b ] непрерывных на отрезке [ a, b ] функций f(t), для которых операции сложения и умножения на число определены естественным образом.
В дальнейшем мы будем рассматривать конечномерные векторные пространства.
Поиск по сайту: