Матрица линейного оператора

Пусть в векторном пространстве задан базис , запишем разложение вектора по данному базису:

В силу того, что оператор – линейный, имеем:

Так как , , …, тоже являются векторами пространства , то их также можно разложить по базису, т. е. представить в виде:

Таким образом, окончательно можно представить в виде:

С другой стороны, вектор можно также разложить по базису :

В силу однозначности разложения вектора по базису, имеем:

Система уравнений в матричной форме имеет вид:

(1)

или в сокращенной матричной форме

()

Таким образом, действие линейного оператора на вектор сводится к умножению некоторой матрицы на столбцевую матрицу X, составленную из координат вектора . Матрица А называется матрицей линейного оператора в базисе , а ранг матрицы А – рангом оператора. Порядок матрицы А совпадает с размерностью пространства. Матрица линейного оператора полностью характеризует линейный оператор.

Если матрица А невырожденная, то линейный оператор (линейное преобразование переменных) называется невырожденным.

Справедлива следующая

Теорема 5. Различным линейным операторам и , действующим в n - мерном векторном, соответствуют различные матрицы в базисе. Любая квадратная матрица А порядка n является матрицей некоторого линейного оператора, действующего в линейном пространстве.

Пусть в векторном пространстве заданы «старый» и «новый» базисы. При переходе от старого базиса к новому базису пространства матрица линейного оператора f изменяется, т.е. если А и – матрицылинейного оператора f в старом и новом базисах, то они связаны соотношением:

()

где Т – матрица перехода от старого базиса к новому.

Замечание. При переходе от старого базиса к новому определитель матрицы сохраняет свою величину, т.е. .

Поиск по сайту: