 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения
Определение 25. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.
Определение 26. Обратной к квадратной матрице 
называется матрица 
, которая удовлетворяет условию
.(16)
Теорема 3. Матрица A тогда и только тогда имеет обратную матрицу, когда она невырожденная.
Доказательство.
Достаточность. Для матрицы 
; 
, составим матрицу из алгебраических дополнений и затем транспонируем ее. Получившуюся в результате матрицу обозначим 
и назовем присоединенной (или союзной) к A. Иными словами,
где 
– алгебраическое дополнениеэлемента 
.
Вычисляя произведения 
и 
матриц, с учетом теоремы 1 получим
.
Разделив последнее соотношение на величину 
, имеем:
откуда c учетом равенств (16), (10), найдем: 
. Мы получили формулу нахождения обратной матрицы и, следовательно, доказали ее существование.
Таким образом, формула для вычисления обратной матрицы имеет вид:
(17)
Замечание. Для каждой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица .
Существует еще один способ нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Этот способ состоит в следующем: составляется матрица размера 
, при помощи приписывания к матрице A справа единичной матрицы. Элементарными преобразованиями строк преобразуют полученную матрицу так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу. Тогда справа получится матрица .
Свойства обратных матриц:
1. 
.
Непосредственно следует из равенства 16.
2. 
.
Доказательство.
. Следовательно, матрицы 
и 
обратные по отношению друг к другу, т. е. .
3. 
.
Доказательство.
Из соотношения 16: 
. По свойству 4 операции транспонирования 
. Следовательно, матрицы 
и 
взаимообратные, т. е. 
.
Определение 27. Простейшими матричными уравнениями будем называть уравнения следующих трех типов:
, 
, 
, (18)
где 
, 
, 
– некоторые числовые матрицы, а 
– неизвестная матрица, которую нужно найти.
Под решением матричного уравнения будем понимать матрицу X, которая обращает матричное уравнение в тождество.
Искать решение матричных уравнений будем с помощью обратных матриц в зависимости от типа уравнения следующими тремя способами:
1) Если 
, то домножая обе части уравнения 
на слева, получим 
.
2) Если , то домножая обе части уравнения 
на справа, получим 
.
3) Если и 
, то домножая уравнение 
на слева и на 
справа, получим
.
Поиск по сайту: