Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Для практического решения систем с большим числом уравнений и неизвестных описанные выше методы обратной матрицы и Крамера неудобны. В случае же, когда число уравнений в системе не совпадает с количеством неизвестных, матричный метод вообще применять нельзя. Универсальным способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, в основе которого лежит принцип последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему (1):

Определение 8. Элементарными преобразованиями системы называются следующие преобразования: 1) перестановка уравнений системы местами; 2) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число; 3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на любое число; 4) вычеркивание нулевой строки (исключение уравнений, тождественно удовлетворяющихся любыми значениями неизвестных).

Несложно убедиться, что при использовании элементарных преобразований от системы переходят к системе, эквивалентной данной.

Элементарные преобразования системы удобно производить над строками ее расширенной матрицы.

Опишем стандартный способ построения и записи эквивалентных систем. Предположим, что первым в системе (1) стоит уравнение, в котором коэффициент . Если это не так, то этого всегда можно добиться перестановкой уравнений или неизвестных. К каждой строке матрицы , начиная со второй, прибавим почленно первую строку, умноженную на , соответственно. Тогда в первом столбце все элементы, за исключением , будут равны нулю. То есть, исключив первое неизвестное из всех уравнений, начиная со второго, мы получаем эквивалентную систему с расширенной матрицей вида

Если в получившейся системе вторая переменная присутствует, начиная со второй строки, хотя бы в одном уравнении, то мы можем применить прежний приём и исключить вторую переменную из всех уравнений, кроме первых двух.

Повторяя описанную процедуру необходимое число раз, приводим расширенную матрицу системы к следующему виду:

(7)

где .

Если в (7) среди свободных членов есть отличные от нуля, то система не имеет решения. Действительно, в этом случае , а согласно теореме Кронекера-Капелли это и означает, что система несовместна. Если все , то последние (m–r) уравнений системы обращаются в тождества 0=0 и могут быть отброшены. В зависимости от вида матрицы (7) возможны два случая:

a) матрица (7) приведена к треугольной форме (r=n). В этом случае система, согласно теореме 2, имеет единственной решение. Для того чтобы его найти, нужно от матрицы перейти к системе, при этом удобно последнюю строку расширенной матрицы записывать в первую строку системы, т.е.

Решая последнюю систему последовательно сверху вниз, находим весь набор , составляющий решение.

b) матрица (7) приведена к трапециевидной форме (r<n). В этом случае система, согласно теореме 3, имеет бесконечное множество решений. Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

Все переменные делим на две части: основные (базисные) и свободные (небазисные). Основные выбираются так, чтобы их было столько же, сколько уравнений, и чтобы коэффициенты при них образовывали отличный от нуля определитель, т.е. базисный минор. Их выбор неоднозначен, однако, по возможности, в качестве основных берут первые r переменных. Все остальные переменные (их количество n–r) объявляются свободными и переносятся к свободным членам вправо. Относительно основных переменных система будет иметь треугольный вид. Последовательно решая уравнения системы, мы получим, что все основные переменные будут выражаться через свободные. Такое решение называется общим. Если придавать свободным переменным различные числовые значения, то будем получать различные частные решения.

Замечание. Описанная выше схема исключения неизвестных для нахождения решений систем линейных уравнений есть суть метода Гаусса. При решении системы по методу Гаусса нет необходимости заранее знать, совместна она или нет. Это определяется в процессе работы.

Поиск по сайту: