Понятие матрицы. Виды матриц

ТЕМА 1.

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

План

Понятие матрицы, виды матриц. Операции над матрицами и их свойства. Понятие определителя. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Свойства определителей. Ранг матрицы. Обратная матрица. Матричные уравнения. Использование алгебры матриц в экономике.

Понятие матрицы. Виды матриц

Определение 1. Матрицей размера m n (m,n N) называется совокупность mn чисел, заданных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов

(1)

Если число строк в таблице не совпадает с числом столбцов, т.е. , то матрица называется прямоугольной. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n), называется квадратной порядка n.

Числа из таблицы (1) будем называть элементами матрицы. Элемент, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы A, обозначается . Условимся, что все элементы рассматриваемых нами матриц – действительные числа; будем называть такие матрицы действительными.

Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, а их элементы соответствующими строчными. Для обозначения матрицы (1) употребляется также запись: , где ; , или A , когда хотят указать размер матрицы. Для квадратных матриц n -го порядка вместо A будем писать .

Определение 2. Две матрицы и называются равными, если они одинаковых размеров, и их соответствующие элементы равны, т. е. ; .

Определение 3. Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу (составленная из элементов ) называется главной, а диагональ, идущая от верхнего правого к нижнему левому углу () – побочной.

Определение 4. Квадратную матрицу ; , у которой все элементы, расположенные на главной диагонали равны единице, а остальные –нулю, будем называть единичной и обозначать E. Она имеет вид

(2)

Определение 5. Матрица O произвольных размеров, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

Определение 6. Квадратная матрица ; называется треугольной, если все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю (над главной диагональю) равны нулю, т. е. при i >j ( при i < j),

(3)

Первую из этих матриц называют верхней треугольной, а вторую – нижней треугольной.

Определение 7. Матрица произвольного размера

(4)

называется трапециевидной.

Определение 8. Прямоугольные матрицы размера m 1 (1 n) называются столбцевыми (строчными) матрицами.

Часто удобно рассматривать матрицу как совокупность строк или столбцов. Например, матрицу (1) можно представить как строчную матрицу размера 1 n, где каждый элемент – столбец высоты m:

(5)

или в виде столбцевой матрицы размера m 1, где каждый элемент – строка длиной n:

(6)

Поиск по сайту: