Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор r- го порядка , отличный от нуля, то требуется вычислить все миноры r+1 порядка, окаймляющие минор . Если они все равны нулю или не существуют, то ранг матрицы равен r. Если хотя бы один из , то с ним следует поступить также как с минором .

Описанный выше способ поиска ранга матрицы приводит к вычислению некоторого, быть может, очень большого, числа миноров этой матрицы. Существует еще один способ нахождения ранга матрицы, не связанный с вычислениями миноров. Этот метод основан на предварительном упрощении матрицы при помощи элементарных преобразований.

Определение 23. Элементарными преобразованиями над матрицей называются следующие преобразования строк (столбцов) матрицы: 1) перестановка двух строк (столбцов) местами; 2) умножение строки (столбца) на любое отличное от нуля число; 3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число; 4) вычеркивание нулевой строки (столбца).

Определение 24. Матрицы А и В называются эквивалентными, если В можно получить из А с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы будем обозначать следующим символом: А~В.

Теорема 2. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Действительно, если к матрице применить элементарные преобразования 1–3, то эти же преобразования или часть из них будут совершены и над ее базисным минором. Из свойств определителя 2, 9 и следствия к свойству 5 следует, что базисный минор, хотя численно и может поменяться, но в нуль в результате данных преобразований не обратится, т.е. ранг матрицы не изменится. Вычеркивание нулевой строки (столбца) так же не может изменить порядка базисного минора, т.е. ранг матрицы остается прежним.

Поиск по сайту: