|
|||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Алгоритм вычисления обратной матрицы1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица - вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует. 2. Находим матрицу , транспонированную к . 3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу . 4. Составляем обратную матрицу по формуле . 5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: . Пример. Найти матрицу, обратную данной: . Р е ш е н и е. 1) Определитель матрицы . 2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу : . 3) Вычисляем обратную матрицу: , 4) Проверяем: .
№4 Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы. В матрице размером вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы . Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение: или . Из определения следует: 1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. . 2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. . 3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная. Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы: 1) Отбрасывание нулевой строки (столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число . 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы. Определение. Матрица , полученная из матрицы при помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначается А В. Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда. Матрица называется ступенчатой если она имеет вид: , где , , . Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю: . Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований. . Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. . №5 Линейная независимость строк матрицы Дана матрица размера Обозначим строки матрицы следующим образом: Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы. . Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно: . Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа): . Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , где . (1.1) Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строки называются линейно независимыми. Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы). Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений. №6 Решение системы линейных уравнений с неизвестными Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике. Система линейных уравнений с переменными имеет вид: , где () - произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений, соответственно. Краткая запись: (). Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. 1) Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. 2) Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. 3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение). Запишем систему в матричной форме: Обозначим: , где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов. Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение:
Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: . Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: , - формула Крамера. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.) |