Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Р е ш е н и е. Определитель матрицы системы . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим , полученные из заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:

По формулам Крамера:

.

№7 Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов , получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :

.

Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .

Пример. Методом Гаусса решить систему:

Выпишем расширенную матрицу системы.

Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.

Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули.

Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0,5).

Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.

Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги 3, 4, 5 приведены с тем, чтобы ).

Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом появится нуль.

(называется расширенная матрица системы) .

Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:

Из последнего уравнения ; из второго ; из первого .

Таким образом, , , .

№8Система уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

или

(1)

где

произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и

- свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел

,

при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~ .

RgA = 2.

A* =

RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0;

RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2

№10 Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности: Теорема (о линейном решении однородных систем).

Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Теорема (о структуре общего решения).

Пусть, тогда:

если, где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

если, то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы:, причём её общее решение имеет вид:, где — некоторые константы.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

— решения системы (1);

линейно независимы;

. Теорема (о ФСР).

Пусть ранг основной матрицы, где — число переменных системы (1), тогда:

ФСР (1) существует:;

она состоит из векторов;

общее решение системы имеет вид.

Замечание:

Если, то ФСР не существует.

[править]

Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и.

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,а вектора составляют фундаментальную систему решений.

Однородная система уравнений

Предложение 15.2 Однородная система уравнений

(15.7)

всегда является совместной.

Доказательство. Для этой системы набор чисел,,, является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы:. Предложение 15.3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство. Пусть и служат решениями системы. Тогда и. Пусть. Тогда

Так как, то -- решение.

Пусть -- произвольное число,. Тогда

Так как, то -- решение.

Следствие 15.1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15.5 Будем говорить, что решения системы образуют фундаментальную систему решений, если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Определение 15.6 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы. Тогда выражение

где -- произвольные числа, будем называть общим решением системы.

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях. И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

Теорема 15.3 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы. Тогда, где -- число неизвестных в системе.

Доказательство читатель может найти, например, в [1].

№11. Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на число х =/= 0 называется вектор, длина которого равна | x | • | а |, а направление совпадает с направлением а, если х > 0, и противоположно ему, если х < 0.

Произведением нулевого вектора на любое число х и произведением любого вектора на число нуль называется нулевой вектор.

Произведение вектора а на число х обозначается х • а (числовой множитель пишется слева).

Согласно определению | x • а | = | x | • | а | для любого вектора а и любого числа х.

На рис. 18 изображены произведения вектора а на число х = 2 (вектор CD>) и на число х = —2 (вектор EF>).

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1. Свойство ассоциативности (сочетательности):

х • (у • а) = (х • у) • а.

2. Свойство дистрибутивности (распределительности) относительно векторного множителя:х • а + y • а = (х + у) • а.

3. Свойство дистрибутивности (распределительности) относительно числового множителя:

х • а + х • b = х • (a + b).

Если a = 0 или ху = 0, то равенство х(уа) = = (ху)а очевидно, так как слева и справа стоят нулевые векторы.Пусть а =/= 0, ху =/= 0 и а = OA>. Тогда векторы х (у • OA>) и (ху) OA> лежат на прямой OA>, имеют длину |x| • |y| • |OA>| и направлены в одну сторону: в сторону вектора а = OA>, если ху > 0, и в противоположную сторону, если ху < 0. Таким образом, свойство 1 доказано.Свойства 2 и 3 доказывать не будем. Заметим лишь, что свойства 1 и 2 являются свойствами векторов на прямой. Они уже доказывались в курсе геометрии восьмилетней школы. Свойство 3 является свойством векторов на плоскости; оно тоже было доказано.

Задача. В параллелограмме ABCD точка М есть точка пересечения диагоналей. Найти множитель k в каждом из следующих случаев:

1) M C> = k • CA>; 2) BD> = k • BM>; 3) AC> = k • CM>;

4) BB> = k • BD>; 5) AA> = k • CC>.

В соответствии с определением умножения вектора на число имеем (рис. 19)

1) M C> CA>, | CA| = 2•| MC |, откуда k = — 1/2;

2) BM> BD>, | BD | = 2 • | ВМ |, откуда k = 2;

3) CM> AC>, | CM | = 1/2• |AС |, откуда k = -2;

4) BB> = 0, BD> =/= 0, откуда k = 0;

5) AA> = 0, CC> = 0, откуда k — любое число.

Векторы на плоскости и в пространстве

§ 3. Сумма векторов

Пусть даны два вектора а = OA> и b = OB> (рис. 5).

От точки А отложим отрезок АС такой, что AС> = b. Тогда, вектор с = OС> называется суммой векторов а и b и обозначается а + b.

Таким образом, OA> + AС> = OС>. Это равенство называют правилом треугольника сложения двух векторов.

Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, а + 0 = а.

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. Свойство коммутативности (перестановочности): для любых векторов а и b

а + b = b + а. (1)

2. Свойство ассоциативности (сочетательности): для любых векторов а, b и с

(а + b) + с = а + (b + с). (2)

1. Пусть a = OA>, b = OB>. Рассмотрим случай, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой. На отрезках ОА и ОВ построим параллелограмм ОАСВ (рис. 8).

Тогда |ОА| = |ВС|, (ОА) || (ВС) и |ОВ| = |АС|, (ОВ) || (АС), как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,

а = OA>= BC>, b = OB> = AC>,

и поэтому

а + b = OA>+ AC> = OC>, b + а = OB> + BC> = OC>,

что и доказывает равенство (1).

Для случая, когда точки О, А, В лежат на одной прямой, доказательство равенства (1) проведите самостоятельно.

2. От некоторой точки О отложим вектор OA> = а, от точки А отложим вектор AB> = b и, наконец, от точки В отложим вектор BC> = с (рис. 9, 10).

Соединим точки О и С отрезком ОС. Тогда, с одной стороны (см. рис. 9),

(а + b) + с = (OA> + AB>) + BC> = OB> + BC>= OC>

и, с другой стороны (см. рис. 10),

а + (b + с) = OA> + (AB>+ BC>) = OA> + AC> = OC>,

что и доказывает равенство (2).

Из риc. 8 видно, что сумма векторов а = OA> и b = OB> равна направленной диагонали OC> параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ, т.е.

OA> + OB> = OC>.

Это равенство называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.

Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без скобок. Например, вместо (а + b) + с или а + (b + с) пишут а + b + с.

Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.

Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их сумму.

Выберем некоторую точку О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что OA> = а,

затем построим отрезок АВ такой, что AB> = b, и т. д.

Построение продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок OD>, замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.

Задача 1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Найти сумму векторов (рис.12).

Из свойств ребер параллелепипеда следует, что

Применив правило многоугольника, получим (рис. 13)

Задача 2. Найти сумму KD> + M C> + DM> + CK>

KD> + M C> + DM> + CK> = KD> + DM> + M C> + CK>.

Теперь по правилу многоугольника находим

KD> + DM> + M C> + CK> = KK> = 0.

Задача 3. Дана треугольная пирамида ABCD (рис. 14).

Найти сумму AB> + CD> + AC> + BC> + DA>.

Применив коммутативное и ассоциативное свойства сложения векторов, получим

AB> + CD> + AC> + BC> + DA> = AB> + BC> + CD> + DA> + AC> = AC>.

§ 6. Коллинеарные векторы.

Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.

Так, например, на рис. 20 векторы BC> и AD> коллинеарны, а векторы AB> и AC> неколлинеарны.

Если векторы а и b коллинеарны, то говорят также, что вектор а коллинеарен вектору b, а вектор b коллинеарен вектору а.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема (признак коллинеарности). Для того чтобы вектор а был коллинеарен ненулевому вектору b, необходимо и достаточно, чтобы существовало число k, удовлетворяющее условию

a = kb. (1)

Достаточность. Если при некотором k равенство (1) выполняется, то векторы b и а коллинеарны по определению умножения вектора на число и определению коллинеарных векторов.

Необходимость. Пусть вектор а коллинеарен ненулевому вектору b. Возможны следующие три случая: а b, а b, а = 0.

Если а b, то a = • b, т. е. равенство (1) выполняется при k =

Если а b, то a = — • b, т. е. равенство (1) выполняется при k = —

Если а = 0, то а = 0 • b, т. е. равенство (1) выполняется при k= 0.

Задача. Доказать, что векторы AВ> + СВ> + 2 ВА> и 1/3 AС> коллинеарны.

Используя свойства операций над векторами, получим

AВ> + СВ> + 2 ВА> = (AВ> + ВА>) + (СВ> + ВА>) = 0 + ВА> = ВА> = — АС>.

Таким образом,

AВ> + СВ> + 2 ВА> = —3 (1/3 AС>).

По признаку коллинеарности векторов данные в условии векторы коллинеарны.

. Компланарные векторы.

Из курса геометрии восьмилетней школы известно, что прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек или лежит на ней.

Вектор AB> назовем параллельным плоскости, если прямая АВ параллельна этой плоскости. Нулевой вектор считается параллельным любой плоскости.

Векторы a1, a2,..., an называются компланарными, если каждый из них параллелен одной и той же плоскости.

Любые два вектора всегда компланарны.

Очевидно, если три вектора компланарны, то их можно изобразить направленными отрезками, лежащими в одной плоскости.

Рассмотрим сложение трех некомпланарных векторов по так называемому «правилу параллелепипеда».

Пусть векторы а, b и с некомпланарны (рис. 28).

От произвольной точки О отложим векторы OA> = а, OB> = b и OC> = с и построим параллелепипед, для которого [ОА], [ОВ] и [ОС] являются ребрами. Пусть [ОМ]—диагональ этого параллелепипеда. Так как

OB> = AD>, OC> = DM>,

то

OA> + OB> + OC> = OA> + AD> + DM> = OM>,

т. е. а + b + с = OM>.

Итак, сумма трех некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Задача. Привести примеры ребер треугольной пирамиды ABCD изображающих: а) два коллинеарных вектора; б) три компланарных вектора; в) три некомпланарных вектора.

Рис. 29.Рассмотрим изображение пирамиды (рис. 29). Используя определения коллинеарных и компланарных векторов, получим:

а) никакие два различных ребра пирамиды не могут изображать коллинеарные векторы, так как среди них нет взаимно параллельных;

б) ребра АС, СВ, ВА (или ребра AD, DC и АС) изображают три компланарных вектора (например, векторы AC>, AB> и BC>);

в) ребра DA, DC и DB изображают три некомпланарных вектора (например, векторы DA>, CD>, DB>).

№12. Скалярное произведение двух векторов.

В физике работа А постоянной силы F при прямолинейном движении материальной точки из положения В в положение С (рис. 52) вычисляется по формуле

Эта формула вектору силы F и вектору перемещения ВС ставит в соответствие скалярную величину — работу. Величину А называют скалярным произведением векторов F и BC>. Скалярное произведение может быть определено для любых двух векторов. Оно широко используется в физике и в математике.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается а • b. Итак, по определению

а • b = | а | • | b | cos. (1)

Если а = b, то скалярное произведение принимает вид а • a и называется скалярным квадратом вектора а и обозначается символом a2. Очевидно, что a2 = а • a = |а|2.

Как известно (см. § 16), проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направлением вектора а, выражается формулой

npab = | b | cos. (2)

Используя формулы (1) и (2), можно записать

а • b = | а | npab. (3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них и проекции второго вектора на направление первого.

Аналогично получается формула а • b = | b | npba.

Задача 1. Известно, что | а | = 2, | | b | = 1/3, = 150°. Найти а • b.

По формуле (1) находим

а • b = | а | • | b | cos = 2• 1/3 • 150° = — 2√3/9 ^

Задача 2. Найти всевозможные скалярные произведения базисных векторов i и j прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

По определению скалярного произведения

i • j = | i | • | j | cos 90° = 1 • 1 • 0 = 0,

i2 = i • i = | i | • | i | cos 0° = 1 • 1 • 1 = 1.

Аналогично j • i = 0, j2 = 1.

Задача 3. Какой знак имеет скалярное произведение векторов а и b, если

90° < < 180°?

Так как в формуле а • b = | а | • | b | cos числа | а | и | b | неотрицательны, знак а • b зависит от знака косинуса.

В промежутке ] 90°; 180°] cos < 0, поэтому а • b < 0.

Задача 4. В каком промежутке находится величина угла между векторами а и b, если а • b > 0?

Так как а • b > 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0 и cos > 0. Отсюда [0°; 90° [.

13)N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Вектор записывается в виде строки или столбца:

Разновидности векторов:

нулевой вектор —

единичные векторы специального вида —

Условие равенства векторов

Два вектора и равны между собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны т.е.:

Пример: векторы и — равны, потому что

Коллинеарные (параллельные) векторы

Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если A=λ*B, ai=λ*bi, i=1,2,...,n.

λ — некоторое число:

если λ>0, то направления векторов совпадают

если λ<0, то направления противоположны

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависима что

Система линейно независима

Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

#14 Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из, обозначаемый.

При этом на операции накладываются следующие условия:

, для любых (коммутативность сложения);

, для любых (ассоциативность сложения);

существует такой элемент, что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

для любого существует такой элемент, что (существование противоположного элемента относительно сложения).

(ассоциативность умножения на скаляр);

(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы

Базис и размерность пространства

Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.

Определение 18.2 Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Пример 18.2 Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.

Предположим противное. Пусть векторы образуют в этом пространстве базис.

Каждый вектор пространства -- это многочлен. Пусть

Из степеней многочленов выберем наибольшую и обозначим ее буквой. Возьмем многочлен. Так как и векторы образуют базис, то, где -- вещественные числа. Следовательно, является суммой многочленов степеней меньших, чем, и поэтому его степень должна быть меньше, чем. С другой стороны, по определению, многочлен имеет степень. Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.

Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.

Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].

Определение 18.3 Линейное пространство, в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается. Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.

Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность.

Доказательство. Возьмем систему векторов

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

Преобразуем левую часть:

Следовательно,

откуда,,. Итак, система векторов -- линейно независима.

Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что

Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов. Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.

Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается.

Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность.

Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается.

Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из решений, где -- число неизвестных, а -- ранг матрицы. Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3).

Теорема о разложении.

Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку и возьмем произвольную точку. Радиус-векторомточки по отношению к точке называется вектор.

Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.

Определение 10.17 Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая -- осью абсцисс, вторая -- осью ординат, третья -- осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Определение 10.18 Координаты радиус-вектора точки по отношению к началу координат называются координатами точки в рассматриваемой системе координат.

Первая координата называется абсциссой, вторая -- ординатой, третья -- аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты -- абсциссу и ординату.

Координаты точки обычно пишут в скобках после буквы, обозначающей точку, например,.

Определение 10.19 Декартова система координат называется прямоугольной, если векторы базиса -- единичные и попарно ортогональные (перпендикулярные) друг другу.

В дальнейшем мы будем использовать лишь декартову прямоугольную систему координат и для краткости будем называть ее просто "система координат".

Единичные попарно ортогональные векторы базиса принято, как правило, обозначать i, j, k.

Определение 10.20 Базис, образованный единичными попарно ортогональными векторами, называют ортонормированным.

На рис. 10.15 показаны два способа изображения точки по ее координатам.

Рис.10.15.Построение точки

Так как точку пространства мы вынуждены изображать на плоскости, то, пока не указаны линии, связывающие изображение точки с осями координат, установить ее положение в пространстве невозможно! Это показывает рис. 10.16.

Рис.10.16.

Зная координаты начала и координаты конца вектора, можно определить координаты самого вектора.

Предложение 10.12 Если точки заданы своими координатами,, то.

Доказательство. Очевидно соотношение (рис. 10.17),

Рис.10.17.Координаты вектора

откуда. Так как, по определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то,. В силу предложений 10.4, 10.5 получим.

Предложение 10.12 можно сформулировать так: чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

п.2. Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

, (1)

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису. Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис. Возьмем произвольный вектор. Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то. Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как, то найдется (существует) такое число, что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства.

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства:

и, где. Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:

.

Так как, то из последнего равенства следует, что, ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и – базис. Пусть произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведемпрямую, на которой лежит вектор, прямую, на которой лежит вектор. Через конец вектора проведем прямую параллельную вектору и прямую параллельную вектору. Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма, и,, – базис, – базис.

Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа, что

и. Отсюда получаем:

и возможность разложения по базису доказана.

рис.3.

Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства: и. Получаем равенство

, откуда следует. Если, то, а т.к., то и коэффициенты разложения равны:,. Пусть теперь. Тогда, где. По теореме о коллинеарностидвух векторов отсюда следует, что. Получили противоречие условию теоремы. Следовательно, и, ч.т.д.

3) Пусть – базис и пусть произвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора и вектор от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы, плоскость и плоскость; далее через конец вектора проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

рис.4.

По правилу сложения векторов получаем равенство:

. (1)

По построению. Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов, следует, что существует число, такое что. Аналогично, и, где. Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

(2)

и возможность разложения по базису доказана.

Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису:

и. Тогда

. (3)

Заметим, что по условию векторы некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая: или.

а) Пусть, тогда из равенства (3) следует:

. (4)

Из равенства (4) следует, что вектор раскладывается по базису, т.е. вектор лежит в плоскости векторов и, следовательно, векторы компланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай, т.е.. Тогда из равенства (3) получаем или

. (5)

Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что и, ч.т.д.

Теорема доказана.

5. Углы, образуемые вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются из формул (3) и (4):

(13)

Косинусы, определяемые по этим формулам, называются направляющими косинусами вектора.

Для направляющих косинусов вектора имеет место формула

(14)

т. е. сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице.

Если, т. е. если - единичный вектор, обозначаемый обыкновенно, то его проекции на координатные оси вычисляются по формулам

(15)

т. е. проекции единичного вектора на оси прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны соответственно направляющим косинусам этого вектора. Имеет место формула

№15. Скалярное произведение n-мерных векторов

Стандартным скалярным произведением векторов и в многомерном пространстве называется число

Скалярным квадратом n-мерного вектора называется скалярное произведение вектора на себя:

Скалярное произведение (2.26) обладает свойствами 1-4 (перечисленными в разделе Свойства скалярного произведения), из которых следует неравенство Коши – Буняковского (см. пункт 3 замечаний 1.9):

справедливое для любых векторов и.

Используя скалярное произведение, можно определить основные метрические понятия: длину вектора и величину угла между векторами (см. геометрические свойства скалярного произведения).

Длиной n-мерного вектора называется квадратный корень из скалярного квадрата:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Расстояние между точками в многомерном пространстве и находится как длина вектора:

где и — радиус-векторы точек и соответственно (см. Многомерное координатное пространство).

Величиной угла между ненулевыми n-мерными векторами и называется число:

n-мерные векторы называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Система n-мерных векторов называется ортогональной, если все векторы системы попарно ортогональны.

Система n-мерных векторов называется ортонормированной, если все векторы системы попарно ортогональны и их длины равны единице.

Покажем, например, что стандартный базис (2.23) — ортонормированный. Действительно, длина каждого вектора стандартного базиса равна единице, например,

а угол между разными векторами стандартного базиса равен, например, угол между векторами и:

то есть.

Поэтому стандартную систему координат называют прямоугольной.

Евклидово пространство

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Евклидово пространство

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение.

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

где и.

. Норма — структура длины векторов на линейном пространстве.

Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел есть функция , удовлетворяющая следующим условиям (аксиомы нормы):

1, причём p(x) = 0 только при ;

2 для всех (неравенство треугольника);

3p(αx) = | α | p(x) для любого скаляра α.

Норма обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Аксиома 2 обеспечивает выпуклость шаров , аксиома 3 — кроме прочего, их центральную симметрию.

Любой ненулевой вектор (в частности функцию) конечной нормы можно нормировать, поделив его на значение его нормы (после чего он станет нормированным). Также, нередко применяется выражение «нормированный на», подразумевающее, что норма объекта равна в этом случае не единице, а другой определенной величине. Например, иногда говорят о нормировании на дельта-функцию, когда речь идет о нормировании базиса функций, нумерованного непрерывным параметром.

16, Ортогональн Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е..

Обозначение: – векторы а и в ортогональны.

Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е.,.

Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице:.

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов, отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора на плоскость, в которой лежат первые два вектора и, кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов. На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов:

рис.7.

Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом, см. следующий рисунок:

рис.9.

Любой вектор можно разложить по этому базису:

. ые векторы

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

ртогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

4.2.1. Ортогональные системы векторов, ортонормированные базисы

С помощью скалярного произведения в произвольном евклидовом пространстве вводится понтие ортогональности произвольных векторов.

Определение. Векторы из произвольного евклидова пространства называются ортогональными, если

Определение. Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.

Определение. Ортогональная система векторов n-мерного евклидова пространства называется ортонормированной, если все векторы системы имеют единичную длину.

Теорема. Любая ортогональная система векторов линейно независима.

На лекции теорема доказана.

Утверждение теоремы позволяет определить в произвольном евклидовом пространстве некоторые базисы специального вида.

Определение. Ортогонормированная система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если все векторы системы имеют единичную длину.

4.2.2. Существование ортонормированного базиса. Ортогонализация Грамм-Шмидта

Теорема. В произвольном n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Теорема доказана на лекции.

Использованная в доказательстве процедура построения ортонормированного базиса из произвольного базиса:

называется процедурой ортогонализации Грамма-Шмидта.

17 Определение линейного оператора

Преобразование (оператор, отображение) f линейного пространства в себя (запись ) называется линейным, если:

Условия 1 и 2 равносильны соотношению

Понятие лин. Пространства.

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР

линейное преобразование,- отображение между двумя векторными пространствами, согласованное с их линейными структурами. Точнее, отображение где Еи F - векторные пространства над полем k, наз. л и н е й н ы м оператором из Ев F, если при всех Простейшие примеры - нулевой Л. о. о, переводящий все векторы в и (в случае E=F).тождественный Л. о. 1, оставляющий векторы на месте.

18, Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y e Y, называется оператором, действующим в линейных пространствах X, Y. Результат действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или y = A(x). Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называют образом элемента x; элемент x прообразом элемента y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения оператора A, называют образом оператора и обозначают Im(A). Если y = A x, то x e D(A), y e Im(A).

Оператор A, действующий в линейных пространствах X, Y называется линейным оператором, если

A(u+v)=A(u)+A(v) и A(au)=aA(u) и для любых u,v e X и для любого числа a.

Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве X.

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e1, e2,..., en - базис в X. Обозначим через A e1 = (a11,...,an1),..., A en = (a1n,...,ann) образы базисных векторов e1, e2,..., en.

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e1,..., en} к базису e' = {e'1,..., e'n}. Связь между матрицей Ae оператора A в базисе e и матрицей Ae' этого оператора в базисе e' задается формулой

Здесь - матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней

Поиск по сайту: