АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Задача 1. Найти ранг матрицы А методом окаймляющих миноров:

A = .

Решение. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличного от нуля минора данной матрицы. При вычислении ранга матрицы методом окаймляющих миноров следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор к-го порядка М, отличный от нуля, то вычисляют лишь миноры (к+1)-порядка, окаймляющие минор М и если все они равны нулю, то ранг матрицы А равен числу к.

Минор второго порядка M= 0. Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие минор М. Их будет три

M₁= =0, M₂= = =0,

M₃= = = 0.

Итак, получили, что ранг матрицы А равен 2, обозначим r (А) =2.

Примечание. Всего в матрице А десять миноров третьего порядка, . Метод позволяет утверждать, что все эти 10 миноров равны нулю (если окаймляющие миноры равны нулю).

Задача 2. Вычислить ранг матрицы А приведением к ступенчатому виду:

A = .

Решение. Прибавляем в этой матрице ко второй строке первую строку, умноженную на (–3), к третьей строке первую строку, умноженную на (–3) и к четвертой строке первую строку, умноженную на (–1), придем к матрице:

.

В новой матрице прибавляем к четвертой строке третью строку, умноженную на (–1), а к третьей строке вторую, умноженную на (–1), получим ступенчатую матрицу:

.

В этой матрице число ненулевых строк равно 3 и поэтому ранг ступенчатой матрицы равен 3 и он равен рангу матрицы А, т.е. r (А)=3.

Задача 3. Для матрицы А найти обратную матрицу А ^–1 двумя способами:

А = .

Решение. 1 способ. Для матрицы А обратная может быть найдена таким образом:

А^–1= А ^* (1), где А ^* – это присоединенная матрица к матрице А и

А ^*= ,

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij матрицы А.

Определитель матрицы А= 1≠0, т.е. матрица невырожденная.

А₁₁= =0, А₁₂=– =0, А₁₃= =1, А₂₁=– =2, А₂₂= =–1,

А₂₃=– =–1, А₃₁= =–1, А₃₂= – =1, А₃₃= =–1.

Т.е. по формуле (1):

А^–1= .

2 способ. Приписываем к матрице А слева единичную матрицу, затем с помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу А к единичной, одновременно выполняя эти преобразования и над единичной матрицей. Матрица, полученная вместо единичной матрицы и будет искомой матрицей А ^–1:

.

Итак А ^–1= , также как и в первом способе. Проверка: А^–1А=АА^–1=Е.

Задача 4. Решить матричное уравнение АХ+В^–1=С,

где А= , В= , С=

Решение. Из уравнения АХ+В^–1=С, имеем АХ=С– В^–1 , Х= А^–1 (С– В^–1),

находим, В^–1= , затем С– В^–1= – = ,

Задача 5. Решить следующие системы, заданные расширенными матрицами методом Гаусса (метод исключения неизвестных):

а) Ã = , (1); б) Ã = , (2);

в) Ã = , (3).

Решение. а) приводим расширенную матрицу Ã к ступенчатому виду, тем самым в системе (1) последовательно исключаем неизвестные – во втором уравнении неизвестное х ₁, в третьем уравнении неизвестные х ₁ и х ₂, а в четвертом уравнении неизвестные х ₁, х ₂ и х ₃.

Ã

,

приведя Ã к ступенчатому виду, получили, что r (А)= r (Ã)=4, отсюда следует, что система совместна и определена.

Система (1) эквивалентна системе:

,

из которой находим, что х ₄=2, х ₃= –2, х ₂=3, х ₁= –1. Таким образом, решение системы (1) – четверка чисел: (х ₁, х ₂, х ₃, х ₄)=(–1, 3, –2, 2);

б)

à ,

r (А)= r (Ã)=2, система совместна и неопределенна. Система (2) эквивалентна системе:

,

в которой х ₁, х ₂ можно объявить главными неизвестными, а х ₃, х ₄ – свободными неизвестными и выразить однозначно главные неизвестные через свободные, получив общее решение системы (2). Общее решение системы (2) будет (–26 х ₃+ +17 х ₄+6, 7 х ₃–5 х ₄–1, х ₃, х ₄), где х ₃, х ₄ могут принимать любые значения.

Примечание. Придавая свободным неизвестным конкретные значения, мы можем найти бесконечно много частных решений.

С) Ã , r (А)=3, r (Ã)=4, поэтому система несовместна.

Задача 6. Решить данную систему линейных уравнений с помощью правила Крамера:

Решение. Определитель

,

следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц , полученные из матрицы A заменой, соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам Крамера

Ответ: (1;0;2).

Задача 7. Решить данную систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

.

Решение. Обозначим

Тогда в матричной форме система имеет вид: Определитель матрицы т.е. обратная матрица существует. Найдем матрицу : .

Теперь по формуле получаем

.

Ответ: (0;1;-3).

Задача 8. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра к:

.

Решение. Найдем определитель матрицы А:

| A |=

=(к +2)(к –1)²:

1) если (к+2)(к–1)²≠0, то система имеет единственное решение и его можно найти по правилу Крамера.

| A₁|= , |A₂|= ,|A₃|= ,

тогда получим х ₁= х ₂= х ₃= ;

2) если А =0, т.е. к= –2 или к =1:

а) рассмотрим сначала случай, когда к = –2. Тогда нашей системе соответствует расширенная матрица

,

получаем, что при к =–2, r (А)=2, r (Ã)=3, т.е. в этом случае система несовместна;

б) рассмотрим случай, когда к =1: система (1) принимает вид: х ₁+ х ₂+ х ₃=1, r (А)= r (Ã)=1. Одно неизвестное – х ₁ можем объявить главным, х ₂, х ₃ – свободными и имеем общее решение (1– х ₂– х ₃, х ₂, х ₃), где х ₂, х ₃ могут принимать любые значения. Таким образом, при к =1 система совместна и неопределенна.

Задача 9. Найти фундаментальную систему решений системы однородных уравнений:

.

Решение. Каждое решение данной системы (х ₁, х ₂, х ₃, х ₄) представляет собой некоторую четырехмерную строку, или четырехмерный вектор.

По определению несколько решений образуют фундаментальную систему, если: 1) эти решения линейно независимы; 2) любое решение может быть представлено в виде их линейной комбинации.

Один из способов нахождения фундаментальной системы состоит в следующем.

Находим сначала общее решение данной системы уравнений. Далее выбираем одно из свободных неизвестных и полагаем его равным 1, остальные свободные неизвестные берем равными нулю, после чего определяем значения всех остальных неизвестных. Таким путем мы получаем некоторое частное решение данной системы.

Выбирая другое свободное неизвестное (и снова полагая его равным единице, а остальные свободные неизвестные – нулю), получим другое частное решение. Построенные таким образом частные решения (число которых равно числу свободных неизвестных) образуют фундаментальную систему решений. В данном случае общее решение (найденное методом Гаусса) имеет вид: (х ₁, х ₂, (–5/2) х ₁+5 х ₂, (7/2) х ₁–7 х ₂).

Фундаментальная система решений: (1, 0, –5/2, 7/2), (0, 1, 5, –7), любое решение (х ₁, х ₂, х ₃, х ₄) данной системы уравнений может быть представлено в виде линейной комбинации:

с₁(1, 0, –5/2, 7/2)+с₂(0, 1, 5, –7), где с₁= х ₁, с₂= х _2.

Поиск по сайту: