ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Задача 1. Найти угол между плоскостями

, .

Решение. Двугранный угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами и . Поэтому угол между плоскостями определяется равенством и .

Скалярное произведение векторов и задается формулой , а длина вектора находится как

.

Задача 2. Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

.

Решение. Каноническое уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через данную точку имеет вид

.

Поэтому нужно найти направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой. Поскольку прямая принадлежит обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам плоскостей ( и ). Отсюда получим, что искомый вектор представляет векторное произведение векторов и :

.

Так как направляющий вектор не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость, и эта точка может быть взята в качестве точки на прямой. Остается только выписать каноническое уравнение.

Пример. Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

.

Решение. Имеем: вектора нормалей и не коллинеарны(или не параллельны), поскольку их координаты не пропорциональны. Поэтому две плоскости пересекаются по прямой. Далее находим направляющий вектор прямой

,

пересекающий, все три координатные плоскости. Поэтому в качестве точки, принадлежащей прямой, может быть взята точка пересечения ее, например, с плоскостью .

Записываем систему трех уравнений, выражающих принадлежность искомой точки всем трем плоскостям

Находим решение данной системы

и запишем каноническое уравнение прямой:

.

Задача 3. Найти точку пересечения прямой

и плоскости

.

Решение. Точка пересечения существует, если направляющий вектор прямой и вектор нормали плоскости не ортогональны, то есть отлично от нуля скалярное произведение этих векторов. Таким образом, следует проверить выполнение неравенства

.

Перепишем теперь уравнение прямой в виде

,

Где – параметр. Тогда параметрические уравнение прямой записываются как

Подставляя выражения для координат через параметр в уравнение плоскости, находим значение параметра и запишем координаты искомой точки

.

Пример. Найти точку пересечения прямой

и плоскости

.

Решение. Проверим выполнение неравенства . Имеем

, поэтому искомая точка существует.

Теперь положим и запишем параметрические уравнения прямой

Подставляя выражения для координат через параметр в уравнение плоскости, получим равенство

.

Решая его, находим значение параметра и точку пересечения

.

точка пересечения плоскости и прямой (-3,-1,-1).

Поиск по сайту: