ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Учебно-методическое пособие для студентов

бакалавриата по специальности «Экономика».

Якутск 2011 г.

Теоретический материал.

1. Матрицы: Матрицы и операции над ними, обратная матрица, линейные операторы, квадратичные формы.

2. Определители: операции и основные свойства, ранг матрицы и системы векторов.

3. Системы линейных уравнений: основные понятия; методы решения систем линейных уравнений, однородные системы линейных уравнений.

4. Векторы: Операции над векторами, скалярное произведение векторов;векторное пространство, линейная зависимость векторов, разложение вектора по базису.

Прямая и плоскость в пространстве.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Задача 1. Вычислить определитель матриц:

1) ; 2) .

Решение. 1) Определитель квадратной матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:

2) Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или по правилу Сарруса.

.

В нашем случае имеем:

Задача 2. Вычислить определитель d разложением по третьей строке, если

d= .

Решение. Мы знаем, что имеет место, следующее разложение определителя по i-ой строке: d=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in, где A_ij, j= – алгебраические дополнения элементов i-ой строки. В нашем случае формула принимает вид d=a₃₁A₃₁+a₃₂A₃₂+a₃₃A₃₃+a₃₄A₃₄, т. Е. мы имеем следующее разложение:

d=5· (–1)³⁺¹· +(–9)·(–1)³⁺²· +2·(–1)³⁺³· +

+ (-7)· (–1)³⁺⁴· .

Вычисляя полученные определители третьего порядка, получим

d=5·(–6)+9·12+2·(–54)+7·(–3)= –51.

Задача 3. Вычислить определитель

d= .

Решение. Прибавляя третью строку, умноженную на (–1) ко всем остальным, получим

d= .

Прибавляя к третьей строке первую, умноженную на (–2), получим

d= .

Разложив этот определитель по первому столбцу, содержащему лишь один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 1+1=2, т. Е. чётной), получим

d= .

Преобразуем полученный определитель. Прибавляя к первой строке третью, умноженную на 3, получим

d= .

Полученный определитель в третьем столбце содержит лишь один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 3+3, т. Е. чётной). Поэтому его удобно разложить по третьему столбцу:

d=3 =3(10–12)=–6.

Задача 4. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель.

D= .

Решение. Выберем третью и четвёртую строки. В них находится единственный минор второго порядка отличный от нуля, поэтому применение теоремы Лапласа сводит вычисление данного определителя к вычислению всего лишь одного произведения минора второго порядка на его алгебраическое дополнение:

d= ·(–1)^3+4+3+5· .

Воспользовавшись формулами для вычисления определителей второго и третьего порядков, учитывая, что минор второго порядка равен -1, получим d=12–12+16+27=43.

Поиск по сайту: