АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Свойства скалярного произведения

Читайте также:
  1. II. Свойства векторного произведения
  2. III. Психические свойства личности – типичные для данного человека особенности его психики, особенности реализации его психических процессов.
  3. V2: Электрические и магнитные свойства вещества
  4. Акустические свойства голоса
  5. Акустические свойства строительных материалов
  6. Алгебраические свойства векторного произведения
  7. Алгоритм вычисления произведения
  8. АЛГОРИТМ И ЕГО СВОЙСТВА
  9. Аллювиальные отложения и их свойства
  10. Анализ предметной области исследования (состав объектов и процессов, их свойства, связи) проблемы формирования финансового потенциала предприятия
  11. Антигенные свойства антител.
  12. Антитела. Строение, свойства, продукция.

 

1) (коммутативность);

2) (дистрибутивность);

3) ;

4) Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: ;

5) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны, т.е. и .

Замечание. По аналогии с операцией умножения на множестве чисел в случае скалярного умножения вектора на себя будем писать вместо . На практике удобно использовать формулу для нахождения длины вектора, которая легко получается из свойства 4:

(9)

Определение 15. Два ненулевых вектора и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Теорема 3 (координатное представление скалярного произведения). Если векторы и относительно базиса { } заданы своими координатами, т.е. , , то скалярное произведение векторов и равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т.е.

. (10)

Следствие 1.

. (11)

Таким образом, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора.

Замечание. Длина вектора , где , , находится по формуле

.

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами и , заданными в базисе { } координатами , вычисляется по формуле

. (12)

Замечание. Косинусы углов между вектором и координатными осями (базисными векторами ) называются направляющими косинусами вектора . При подстановке координат векторов , в формулу (12) получаются формулы для нахождения направляющих косинусов вектора

(13)

Возводя в квадрат обе части каждого из равенств (13) и складывая полученные результаты, находим

, (14)

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Геометрический смысл скалярного произведения. Угол между двумя ненулевыми векторами острый (тупой), если скалярное произведение этих векторов есть число положительное (отрицательное). Угол между двумя ненулевыми векторами прямой, если скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Это утверждение непосредственно следует из формулы (8) и свойств косинуса.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)