III. Произведение матриц

Операция умножения вводится только для тех пар матриц, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй.

Определение 12. Произведением матриц и называется матрица такая, что

, (9)

т.е. каждый элемент матрицы С, расположенный в i -й строке и j -м столбце, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B.

Произведение матриц А и В обозначается A·B.

Замечание. Матрица-произведение состоит из стольких строк, сколько их в первом сомножителе, и из стольких столбцов, сколько их во втором.

Определение 13. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение k -матриц, каждая из которых равна A.

Очевидно, что порядок матриц и А одинаковый.

Свойства операции умножения матриц:

1. .

2. .

3. .

4. .

Свойства 1– 4 выполняются для произвольных матриц А, В и С, однако, предполагается, что матрицы имеют размеры, обеспечивающие возможность их перемножения и сложения.

Замечание. В ряде случаев может выполняться , тогда матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими.

Замечание. Единичная матрица является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка, т. е.

. (10)

Поиск по сайту: