По элементам строки (столбца)

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем (детерминантом) матрицы. Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: , или ∆, или употребляют следующий символ: выписывают матрицу A, но вместо круглых скобок элементы матрицы заключают в прямые черточки.

Элементы, строки, столбцы, диагонали матрицы называют соответственно элементами, строками, столбцами и диагоналями определителя этой матрицы.

Для матрицы 1-го порядка определителем является значение единственного ее элемента, т. е. .

Рассмотрим понятие определителя для квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.

Определение 16. Определителем 2-го порядка матрицы называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей, т.е.

. (12)

Определение 17. Определителем 3-го порядка матрицы называется число, вычисляемое по правилу:

. (13)

Существует ряд приёмов, облегчающих составление выражения, стоящего в правой части формулы (1.12). Рассмотрим одно из них, называемое правилом Саррюса.

В следующей схеме используется матрица, полученная из матрицы приписыванием снизу первых двух ее строк. Произведения элементов, стоящих на главной диагонали, или на прямых параллельных главной диагонали, берутся со знаком “+”; а произведения элементов, стоящих на побочной диагонали или на прямых, параллельных ей, берутся со знаком “–”:

Замечание. Иногда для вычисления определителя 3-го порядка по правилу Саррюса используют матрицу, полученную из приписыванием справа первых двух столбцов.

Приведенная выше схема справедлива только для определителей 3-го порядка. Для вычисления определителей произвольного порядка будем использовать теорему, позволяющую свести вычисление определителя n -го порядка к вычислению определителей (n–1)- го порядка. С этой целью введем следующие понятия.

Определение 18. Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n–1)- го порядка, полученный из данного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Определение 19. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком “+” или “–” в зависимости от четности или нечетности суммы (i+j), т.е. .

Теорема 1. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на свои алгебраические дополнения равна величине определителя:

, (14)

. (1 )

Cумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю, т.е.

(15)

. (1 )

Формулы (13), (14) записаны для i- йстроки, а формулы(1 ), (1 ) для j -гостолбцаопределителя.

Равенства (13), (1 ) дают нам правило вычисления определителей n -го порядка и называются разложением определителя по i-й строке, j - му столбцу соответственно.

Пример. Вычислить определитель верхней треугольной матрицы:

Раскладывая каждый раз данный определитель по элементам 1-го столбца, получаем, что он равен произведению своих диагональных элементов.

Используя разложение определителя по первой строке, можно получить такой же результат для нижней треугольной матрицы.

Замечание. При разложении определителя удобнее выбирать те строки (столбцы), которые содержат наибольшее число нулей.

Поиск по сайту: