Однородные системы линейных уравнений. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений:

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений:

(8)

Система (8) является частным случаем системы (1). Она всегда совместна. С одной стороны, это вытекает из теоремы Кронекера–Капелли, так как матрица получена из А добавлением нулевого столбца и, следовательно, ранги этих матриц равны. С другой стороны, это видно и непосредственно, так как ей всегда удовлетворяет решение , которое будем называть нулевым, или тривиальным. Иногдасистема (8), кроме тривиального, может иметь и другие решения (нетривиальные).

Пусть матрица А системы (8)имеет ранг .

Система линейных однородных уравнений (8) тогда и только тогда имеет единственное нулевое решение, когда ранг ее матрицы равен количеству неизвестных,

т. е. r=n.

Для того чтобы система (8) имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т. е. r<n.

Все нетривиальные решения системы можно найти, решая систему методом Гаусса.

Замечание. В матрице однородной системы (8) нулевой столбец свободных членов писать не будем. Поэтому вместо матрицы будем писать матрицу А.

Поиск по сайту: