Свойства матрицы перехода

1) Матрица перехода является невырожденной, т.е.

2) Матрица перехода от нового базиса к старому базису имеет вид . Действительно, умножив равенство (16 ) справа на матрицу , получим

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах.

Пусть имеет координаты в старом базисе и в новом базисе, тогда

Подставив в это выражение разложение векторов по базису , получим

В силу однозначности разложения вектора по базису, имеем

или в матричной форме:

(18)

или в сокращенной матричной форме:

(1 )

Координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты вектора в старом базисе

Формулы (18), (1 ) называют формулами преобразования координат.

Евклидово пространство: основные понятия

Рассмотрим действительное линейное пространство L.

Определение 22. Будем говорить, что в линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число так, что выполняются следующие условия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , причем равенство нулю имеет место лишь для нулевого вектора .

Определение 23. Линейное пространство L, в котором определено скалярное произведение, будем называть евклидовым пространством и обозначать E.

Если n -мерное линейное пространство — евклидово, то будем называть его евклидовым n-мерным пространством, а базис линейного пространства – базисом евклидова пространства.

Дадим определения длины вектора и угла между векторами в евклидовом пространстве E.

Определение 24. Длиной вектора называется величина

.

Углом между векторами называется угол , косинус которого равен

Определение 25. Два вектора евклидова пространства E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

.

Пусть в евклидовом пространстве задан некоторый ортонормированный базис , т.е. при и при . Если векторы относительно данного базиса имеют разложения , , то несложно показать, что скалярное произведение будет определяться формулой

. (19)

Замечание. Длину вектора и угол между векторами с учетом (4.19) можно вычислять по формулам

(20)

(21)

Поиск по сайту: