|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Координаты вектора на плоскости и в пространстве
Рассмотрим реальное пространство. Напомним, что в трехмерном пространстве декартова прямоугольная система координат определяется заданием единицы для измерения длин и трех взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке. Точка пересечения называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, а третья – осью аппликат. Начало координат обозначается буквой О, а координатные оси обозначаются символами Ox, Oy, Oz соответственно. Декартова прямоугольная система кординат обозначается Oxyz. Координатами произвольной точки А в заданной системе координат называются числа где – проекции точки А на координатные оси, а обозначает величину отрезка оси абсцисс, обозначает величину отрезка оси ординат, обозначает величину отрезка оси аппликат. Число x называется абсциссой, число y называется ординатой, а z – аппликатой точки А. Записывают: А (x, y, z). Напомним, что в трехмерном пространстве – три базисных вектора: – на оси абсцисс, – на оси ординат, – на оси аппликат. Пусть — произвольный вектор пространства. Отложив вектор от начала координат, мы получим упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты конца А отложенного вектора. Эти числа называются координатами вектора относительно базиса .
Так как , , , а (см. рис.), то (2) Замечание. Вектор с началом в начале координат и концом в точке А называется радиус-вектором точки А. Таким образом, декартовыми координатами вектора относительно данной системы координат называются координаты конца равного этому вектору радиус-вектора. Из определения координат вектора непосредственно следует, что при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании — вычитаются; при умножении вектора на число — каждая координата умножается на это число, т.е. если , то ; . (3) Признак коллинеарности. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и является пропорциональность их координат, т.е. . (4) Признак компланарности. Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов , и является равенство
Рассмотрим некоторые задачи, которые пригодятся нам в дальнейшем. Задача 1 (о нахождении координат вектора по координатам его начала и конца). Рассмотрим две точки А и В, причем , . Найдем координаты вектора (см. рис.).
Решение. Из рисунка видно, что . Так как , , то используя (4.3), получим: . (6) Таким образом, для того чтобы найти координаты вектора с известными координатами его начала и конца, нужно от координат конца вычесть координаты начала. Задача 2 (о делении отрезка в данном соотношении). Рассмотрим отрезок , причем и . Пусть данный отрезок точкой M делится в соотношении . Найдем координаты точки М.
Решение. Из рисунка видно, что справедливо векторное равенство . Предположим, что точка M имеет координаты . Находя по формуле (6) координаты векторов , перепишем равенство в виде: Выражая из первого равенства x, из второго – y, а из третьего – z, находим координаты точки М: (7) В случае если , т. е. , получаем формулу координат середины отрезка (7 ) Замечание. На плоскости (в двумерном пространстве) можно так же задать прямоугольную систему координат Oxy. С помощью введенной системы координат любую точку или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (x, y). Все соотношения, полученные нами ранее для координат векторов и точек трехмерного пространства, будут справедливы и на плоскости с той лишь разницей, что из них нужно всюду убрать третью координату z. Аналогичные рассуждения можно повторить и для произвольной прямой (одномерного пространства).
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |