Квадратичные формы

Определение 6. Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из переменных, или произведением двух различных переменных, взятых с некоторым коэффициентом, т.е.

(6)

Действительные числа называются коэффициентами квадратичной формы, причем , а матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. Ранг матрицы А называется рангом квадратичной формы.

Квадратичная форма в матричной записи имеет вид:

()

где – столбцевая матрица, составленная из переменных.

Действительно,

Пусть некоторый невырожденный линейный оператор f переводит вектор в вектор . Так как действие линейного оператора на вектор сводится к умножению некоторой матрицы В линейного оператора на столбцевую матрицу , то имеем: . Выясним, как изменится матрица квадратичной формы при линейном невырожденном преобразовании переменных. Квадратичная форма примет вид:

где .

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы будет иметь вид: .

Определение 7. Квадратичная форма называется канонической (канонического вида), если все коэффициенты при , т.е.

Другими словами, канонический вид квадратичной формы – это координатная запись формы, не содержащая слагаемых вида , а содержащая только квадраты координат.

Матрица канонической квадратичной формы является диагональной:

Теорема 6. Невырожденное линейное преобразование переменных приводит к каноническому виду любую квадратичную форму.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно, одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств:

1. Закон инерции квадратичных форм: число положительных, число отрицательных и число ненулевых коэффициентов при квадратах переменных в канонической форме не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду.

2. Свойство ранга: ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых коэффициентов при квад­ратах переменных в каноническом виде формы и не изменяется при линейных преобразованиях.

Определение 8. Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора выполняется неравенство .

Определение 9. Квадратичная форма называется неотрицательно определенной, или положительно полуопределенной, если для любого ненулевого вектора выполняется неравенство .

Аналогично определяется отрицательно определенная и неположительно определенная (отрицательно полуопределенная) квадратичная форма.

Остальные квадратичные формы, не относящиеся к определенным, называются неопределенными или знакопеременными квадратичными формами.

Теорема 7 (об определении знака формы по собственным числам). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы квадратичной формы были положительными (отрицательными).

Поиск по сайту: