Обратной матрицы и по формулам Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

. (4)

Запишем эту систему в матричном виде:

,

где – квадратная матрица порядка n, – столбец свободных членов высоты n, а X – неизвестная матрица.

Данное матричное уравнение относится к первому типу матричных уравнений (18) и его решение, при условии, что , находится по формуле:

. (5)

Этот способ решения системы (4) называется методом обратной матрицы.

Формулу (5) можно переписать в виде: , где – союзная к A матрица. Умножая матрицы, находящиеся в правой части, и используя определение равенства матриц, получим

,

или в окончательной форме имеем:

(6)

где – определитель матрицы А, а () – определитель матрицы, полученной из А заменой ее i -го столбца столбцом свободных членов . Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4 (Правило Крамера). Если определитель матрицы системы , то существует единственное решение системы линейных уравнений (4), определяемое формулами (6).

Замечание. В частности, если система линейных уравнений (4) однородная и имеет , то она обладает единственным нулевым решением.

Замечание. Если определитель системы и при этом а) хотя бы один из , то система несовместная; b) все , то имеет место неопределенность, т.е. система либо несовместная, либо имеет бесконечное множество решений.

Поиск по сайту: