 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Примеры линейных пространств
1. 
. Такое линейное пространство называется нулевым, или тривиальным.
2. Множество свободных векторов, лежащих на одной прямой (плоскости или в обычном пространстве). Эти пространства мы будем обозначать 
, 
и 
соответственно. Смысл нижних индексов выяснится позднее.
3. Множество прямоугольных матриц одного и того же размера.
4. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
5. Множество, элементами которого являются упорядоченные наборы n действительных чисел: 
, если операции сложения элементов и умножение на действительное число 
определить следующим образом:
, 
.
6. Множество С [ a, b ] непрерывных на отрезке [ a, b ] функций f(t), если для этих функций естественным образом определены операции сложения и умножения на число.
Определение 17. Линейным подпространством линейного пространства называется непустое подмножество 
векторов из L, которые сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в L операций сложения и умножения на число, т.е. такое подмножество , для которого выполнены 2 условия:
1. 
2. 
Тривиальными примерами линейных подпространств пространства L могут служить само пространство L а также множество, состоящее из одного нулевого элемента (нулевое подпространство).
В пространстве L 3совокупность векторов, лежащих в какой-нибудь плоскости или какой-нибудь прямой, которые проходят через начало координат, будут образовывать линейные подпространства.
Множество верхних треугольных (нижних треугольных) матриц является подпространствами линейного пространства, образованного множеством квадратных матриц одного и того же порядка.
Линейная зависимость и независимость системы n векторов
Пусть дана система n векторов 
и n действительных чисел 
.
Определение 18. Линейной комбинацией векторов 
будем называть вектор следующего вида
.
Если 
, то получаем
. (15)
Определение 19. Система из n векторов называется линейно независимой, если из равенства (15) следует, что все коэффициенты 
равны нулю, т. е.
.
Определение 20. Система из n векторов называется линейно зависимой, если из равенства (13) следует, что хотя бы один из коэффициентов 
отличен от нуля, т.е.
.
Отметим следующие три свойства линейно зависимых систем векторов.
1. Если среди векторов 
хотя бы один вектор является нулевым, то такая система векторов линейно зависима.
Доказательство. Пусть, например, 
. Тогда можно составить линейную комбинацию векторов
А это и означает, что векторы линейно зависимы.▲
2. Система n (
) векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных.
3. Если среди векторов имеется хотя бы одна подсистема линейно зависимых векторов, то вся система линейно зависима.
Поиск по сайту: