Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения векторов и умножения вектора на число. Введем эти операции.

Определение 12. Пусть даны два вектора . Построим равные им векторы и . Вектор называется суммой двух векторов и обозначается .

Таким образом, для любых точек А, В и С справедливо равенство

. (1)

Указанное в определении правило сложения векторов называется правилом тре­угольника. Из него несложно получить еще одно правило сложения век­торов, известное как правило параллелограмма. Оно состоит в следующем: если совместить начала неколлинеарных векторов и , отложить их от произ­вольной точки A так, что , и взять в качестве сторон параллелограм­ма ABCD, то вектор , лежащий на диагонали этого параллелограмма, и есть сумма . Таким образом,

.

Замечание. Правило сложения можно распространить на любое конечное число векторов. Для того чтобы найти сумму векторов , нужно последовательно откладывать данные векторы так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом последующего. В результате получится некоторая ломаная линия, звеньями которой будут являться данные векторы. Если эту ломаную замкнуть, т.е. соединить начало первого вектора с концом последнего, то получится вектор . Сформулированное правило сложения n векторов называют правилом замыкания ломаной для многоугольника.

Определение 13. Произведением вектора на число () называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где — модуль числа .

2) , если 0;

, если < 0.

Замечание. Если или , то вектор = .

Замечание. При умножении вектора на число получается вектор – , противоположный вектору .

Поиск по сайту: