Тема 4. Векторы на плоскости и в пространстве: основные понятия, линейные операции над векторами, координаты вектора

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

План

Векторы на плоскости и в пространстве: основные понятия, линейные операции над векторами, координаты вектора, скалярное произведение векторов. Понятия линейного пространства и подпространства, примеры. Линейная зависимость и независимость системы n векторов. Свойства линейной зависимости векторов. Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Базис, разложение вектора по базису. Матрица перехода к новому базису и ее свойства. Евклидово пространство. Выпуклые множества. Свойства выпуклых множеств. Решение системы неравенств.

Векторы на плоскости и в пространстве: основные понятия

Определение 1. Геометрическим вектором на плоскости или в трехмерном пространстве будем называть направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указано, какая его точка начальная, а какая конечная.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать . Точку А вектора называют так же точкой приложения вектора.

Векторы также принято обозначать строчными буквами , ….

Определение 2. Вектор , т.е. вектор, начало которого совпадает с точкой В, а конец — с точкой А, называют противоположным вектору . Если , то обозначают: .

Замечание. Для вектора противоположным является вектор , т.е. .

Определение 3. Вектор, начало и конец которого совпадают, называют нулевым вектором (нуль-вектором) и обозначают или пишут просто 0.

Определение 4. Длиной (модулем, или абсолютной величиной) вектора называется число (неотрицательное), равное длине отрезка AB. Обозначается .

Длина нуль-вектора равна нулю.

Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается .

Определение 6. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Определение 7. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, т. е. существует прямая, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы обозначаются .

Теорема 1. Если векторы и коллинеарные, то существует единственное число такое, что .

Определение 8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях, т.е. существует плоскость, которой эти векторы параллельны.

Теорема 2. Если векторы , и компланарные, то существуют единственные числа такие, что .

Теорема 3. Пусть в трехмерном пространстве даны три некомпланарных вектора , и , тогда любой вектор этого пространства можно разложить по данным векторам, причем единственным образом, т. е. существуют единственные числа такие, что .

Определение 9. Два коллинеарных вектора и называются одинаково направленными, или сонаправленными, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проведенной через их начала. Если векторы и лежат на одной прямой, то они считаются сонаправленными в случае, если лучи, определяемые этими век­торами, содержатся один в другом. Обозначаются . Коллинеарные векторы, не являющиеся сонаправлеными, называются противоположно направленными и обозначаются .

Сонаправленные векторы (, )	Противоположно направленные векторы (, )

Определение 10. Два вектора и называются равными, если они сонаправленные и имеют одинаковую длину, т.е. выполнены следующие условия:

1. ;

2.

Определение 11. Пусть дан направленный отрезок (геометрический вектор). Множество всех направленных отрезков, равных данному, называется свободным вектором.

Другими словами, свободный вектор это геометрический вектор, который можно переносить параллельно самому себе. В дальнейшем мы будем рассматривать свободные векторы.

Поиск по сайту: