Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора

Пусть (1) и (2) – линейные пр-ва над одним полем. Отображение A: (1) à (2) называется линейным отображением (1) в (2), если

1) A(x + y) = A(x) + A(y)

2) A(ax) = aAx

a – из поля, x, y – из (1).

Если (2) совпадает с полем – то отображение называется линейным функционалам в пр-ве (1). Мн-во всех операторов из V в W обозначается L(V, W). A = B ßà Ax = Bx для любых x из V.

1) Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор

2) Линейный оператор сохраняет линейные комбинации

3) Линейный оператор сохраняет линейную зависимость.

Для задания линейного оператора достаточно определить его значения на базисе.

Т Пусть базис e1,…,eN пр-ва (1) переходит в набор векторов g1,…,gN – произвольные векторы (2). Тогда существует единственный линейный оператор переводящий векторы e1,…,eN à g1,…, gN (из свойства 2).

Векторы Ae1,…,AeN однозначно раскладываются по базису (2)

Ae1 = a11f1+…+am1fm

…………………………

Aen = a1nf1+…+amnfm

Матрица aij называется матрицей оператора в паре базисов e, f. (Afe).

Пусть размерность (1) n, а (2) m. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и матрицами. (1 – сюръективно, так можно построить матрицу, 2 – инъективно, по предыдущей Т).

Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.

Т Если y = Ax, то yf = Afexe (из сохранения линейных комбинаций и единственности разложения вектора по базису).

Пусть есть базисы e, t = eC пр-ва (1), а f и s = fD – два базиса (2) и одному и тому же линейному оператору соответствуют матрицы Afe и Ast.

Т Ast = (D^(-1))AfeC (yf = Afexe, ys = Astxt, xe = Cxt, yf = Dys à Dys = AfeCxt).

Следствие: матрицы линейного оператора в различных базисах эквивалентны (эквивалентность - A = PBQ, P,Q невырождены).

Следствие: Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базисов.

Т Две матрицы над одним полем одинакового размера эквивалентны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же оператора (Достаточность из предыдущей теоремы, Необходимость построить соответствующие операторы).

Билет 15. Линейное пространство линейных операторов и матриц.

Суммой линейных операторов отображение (A+B)x = Ax + Bx, (aA)x = aAx.

Для любых двух операторов и произвольного числа из поля верно, что сумма произведение принадлежат тому же мн-ву операторов.

Следствие 1: Сложение и умножение оператора на число являются внутренним и внешним законами композиции.

Т Мн-во всех операторов из (1) в (2) – линейное пр-во над тем же полем (проверка аксиом элементарна).

Т Пространство линейных операторов изоморфно соответствующему пр-ву матриц (фиксируем базисы и получаем).

Следствие: dim L(V, W) = dim V *dim W

Поиск по сайту: