Билет 2. Изоморфизм линейных пространств

Линейная алгебра. 2 Семестр

Билет 1. Линейное пространство над произвольным полем. Ранг и база системы векторов.

Непустое мн-во (1) называется линейным (векторным) пр-вом над полем (2), если определены внутренний закон композиции: (1)х(1) à (1), называемый сложением, и внешний закон композиции: (2)x(1)à(1), называемый умножением, удовлетворяющие аксиомам: коммутативность, ассоциативность, существование 0 и обратного для сложения, существование 1, ассоциативность множителей из (2), две дистрибутивности для умножения. Линейное пр-во над вещественным полем – вещественное линейное пр-во, а над комплексным полем – комплексное. Два вектора коллинеарные, если они отличаются числовым множителем. Аффинным (точечно-аффинным) пространством над линейным пр-вом (1) называется мн-во (2) элементов, называемых точками, для которого заданы:

а) Линейное пр-во (1) над полем (3)

б) Отображение (2)х(2) à (1), ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре точек из (2) вектор из (1) и удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) для любой точки A из (2) и вектора a из (1) существует единственная точка B из (2), такая, что v(A, B) = a;

2) A, B, C из (2) v(A, B) + v(B, C) = v(A, C).

Размерностью (2) называется размерность (1). Любое линейное пр-во можно рассматривать как аффинное над самим собой (обозначив отображение за разность), а любое аффинное как линейное (выбрав начало).

Т Отображение (2) в (1) определяемое p(A) = OA является биекцией, сохраняющей операцию v аффинного пр-ва, те v(A, B) = v(p(A), p(B)) (биективность из 1ой аксиомы, а равенство – достаточно рассмотреть разность).

Будем рассматривать конечные системы векторов. Линейно независимая подсистема системы векторов, через которую выражается любой вектор этой системы, называется базой.

Т Подсистема системы векторов образует базу тогда и только тогда, когда образует максимальную линейно независимую подсистему (Необходимость: пусть подсистема векторов образует базу, любой добавленный линейно выражается через них – нет линейной независимости, достаточность – при добавлении вектора исчезает линейная независимость, добавленный выражается).

Следствие: все базы одной системы векторов состоят из одинаково числа векторов. Число векторов в базе называется рангом системы векторов. Две системы векторов называются эквивалентными, если любой вектор одной выражается через другую систему. База системы векторов эквивалентна самой системе.

Т Если система векторов (1) линейно выражается через (2), то rg(1) <= rg(2) (база первой системы выражается через базу второй, если по Т большая система линейных векторов выражается через меньшую – большая линейно зависима).

Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.

Два линейных пр-ва называют изоморфными, если существует биективное отображение одного в другое, сохраняющее законы композиции. Само отображение называется изоморфизмом линейных пр-в.

Простейшие св-ва:

1) отношение изоморфизма – отношение эквивалентности на мн-ве линейных пр-в над одним полем

2) в изоморфных пр-вах а) образ (прообраз) линейной комбинации – линейная комбинация образов (прообразов) с теми же коэффициентами б) образ (прообраз) нулевого вектора – нулевой вектор в) образ и прообраз линейно независимой системы – линейно независимая система г) образ (прообраз) базиса – базис.

Т Два линейных пр-ва над общим полем изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают (Необходимость из г, Достаточность – каждому вектору ставим в соответствие вектор с теми же координатами во втором базисе, в силу единственности разложения – отображение биективно, при этом координаты обладают линейностью, значит отображение изоморфизм).

Следствие: любое n-мерное вещественное пр-во изоморфно арифметическому пр-ву R^n, а комплексное C^n. (Базис единичных векторов).

Это называется координатным изоморфизмом.

Поиск по сайту: