Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора

Т Если A, B из L(V, W), (Ax, y) = (Bx, y) для любого x, то A = B (рассотреть разность).

Отображение A* из W в V называется сопряженным к A, если: (Ax, y) = (x, A*y).

Т Сопряженный оператор линеен (брать разности скалярных прозиведений).

Т Для любого оператора существует, и при том единственный сопряженный оператор (скалярное произведение как произведение координат, расписав по базису (Ax,y) = Add(k=1, n)(x,ek)(Aek,y), рассмотреть оператор By- (Add k=1 n) (y, Aek)ek, внеся сумму под скалярное произведение, единственность вытекает из первых двух теорем этого билета).

Т Операция сопряжения линейного оператора обладает следующими св-вами:

1) (A + B)*= A* + B*

2) (aA)* = (сопряжение a)A*

3) (AB)* = B*A*

4) (A^-1)* = (A*)^-1

5) (A*)* = A

(док-во вытекает из рассмотрения скалярных произведений)

Т Матрицы оператора и его сопряжения в паре ортонормированных базисов сопряжены друг другу (рассмотреть разложения образов по базису).

Следствие: ранг сопряженного оператора равен рангу исходного.

Т Для любого оператора ядро является ортогональным дополнением к образу сопряженного оператора, а ядро сопряженного ортогональным дополнением к образу самого оператора (рассмотреть скалярное произведение любого вектора из ядра на вектор из образа). (дальше для одного пространства)

Биортогональные системы – (xi, yj) = {1, i=j; 0, i!= j}.

Биортогональные системы, образующие базисы пространства, называются биортогональной парой базисов.

Т Для любого базиса найдется и при том единственный биортогональный базис (рассмотреть ортогональное дополнение до системы векторов без одного).

Т В паре биортогональных базисов унитарного (евклидова) пространства матрицы сопряженных операторов связаны соотношением (A*)f=(Ae)^H (Aej = Add(k = 1, n)akjek умножим скалярно на fi, и расписать наоборот для произведения, приравняв получим aij=!bji).

Т Если подпространство инвариантно относительно оператора, то его ортогональное дополнение ортогонально относительно сопряженного оператора (x из L y из отртогонального дополнения L, (Ax, y) = 0 = (x, A*y))
Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.

Линейный оператор A из L(V,V) называется нормальным, если AA*=A*A. Квадратная матрица называется нормальной, если её произведение на сопряженную равно произведению сопряженной на неё.

Замечание: оператор нормален тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица нормальна.

Т Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственному значению l, является собственным вектором сопряженного оператора, отвечающим собственному значению!l (из нормальности оператора следует нормальность сдвинутого оператора на собственное значение, (A-lI)x = 0 ((A-lI)x, (A – lI)x)=0 à по Т предыдущего билета (x, (A-lI)(A-lI)x)=0, ((A-lI)*x,(A-lI)*x)=0, (A-lI)*x=0 (A*-!lI)x=0 A*x=!lx).

Следствие: если оператор нормален, то его ядро совпадает с ядром сопряженного оператора.

Следствие: если оператор нормален, то верна последняя Т предыдущего билета

Т Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны (Ax = lx, Ay=my, l!=m, (Ax, y)=(lx,y)=l(x,y)=m(x,y) à (x,y)=0).

Поиск по сайту: